KMITY - PŘÍKLADY

Na této stránce naleznete:
	Zkumavka
	Tunel v Zemi
	Morseův potenciál (ke zkoušce)
	Oběh Země kolem Slunce
	Tlumení v energii
	Amplitudová a výkonová rezonance
	Fázový portrét oscilátoru
	Numerické schéma
	Skládání kmitů, vlastní frekvence

Př. 1.: Zkumavka

• Zadání: Zkumavka zatížená broky se pohupuje na vodní hladině. Určete frekvenci a periodu kmitů. Průřez zkumavky je S = 1 cm² a hmotnost zkumavky s broky m = 20 g.

• Předpoklady: Kmity zkumavky neovlivní výšku hladiny vody v kádince.
• Řešení: Nekmitá li zkumavka, je v rovnováze vztlaková síla s tíhovou. Porušíme-li rovnováhu, objeví se vratná vztlaková síla (hydrostatický vztlak) a kmity zkumavky můžeme popsat pohybovou rovnicí:

Tuto rovnici uvedeme na standardní tvar

a odečteme úhlovou frekvenci kmitů

Periodu určíme ze vztahu T = 2 p/w.

• Výsledek: w = 7 s^-1, T = 0.9 s.

Př. 2.: Tunel v Zemi

• Zadání: Představte si, že napříč Zemí je vystavěn tunel, do kterého vhodíme nějaký předmět. Jaký pohyb bude vykonávat? Vrátí se někdy zpět? Jestliže ano, kdy?

• Předpoklady: Zemi půjde provrtat a vnitřní teplo a tlak tunel nezničí. Těleso se při průletu neroztaví. Hustota Země je konstantní. Poloměr Země je R = 6400 km a hmotnost M = 6×10²⁴ kg.
• Řešení: Na předmět o hmotnosti m₀ působí gravitačně jen část Země uvnitř poloměru r(t), která má hmotnost m(r) = M r³/R³ (v poměru objemů). Pohybová rovnice potom je

Jedná se o rovnici kmitů, kterou upravíme na standardní tvar

a odečteme úhlovou frekvenci kmitů

Periodu určíme opět ze vztahu T = 2 p/w.
• Výsledek: Předmět se vrátí za 1.4 hodiny.

Př. 3.: Morseův potenciál (ke zkoušce !!)

• Zadání: Dvojatomová molekula má potenciální energii danou Morseovým potenciálem

.

Nakreslete průběh potenciální energie, diskutujte oblast přitažlivých a odpudivých sil. Nalezněte úhlovou frekvenci oscilací.
• Předpoklady: Rozkmity jsou malé, potenciální energii jde nahradit parabolickou závislostí.
• Průběh potenciální energie:

• Řešení: Jde o průběh potenciální energie s minimem v r₀ (viz obrázek). Pro r < r₀ je síla odpudivá a pro r > r₀ je síla přitažlivá (míří vždy k minimu potenciální energie). Výsledným pohybem proto budou kmity. Potenciál nahradíme pomocí Taylorova rozvoje parabolickou závislostí:

.

Jde o harmonický oscilátor (parabolická závislost energie na výchylce z minima). Označíme-li tuhost oscilátoru  a výchylku z rovnovážné polohy y ş r - r₀ máme

a standardním způsobem určíme frekvenci

.

Př. 4.: Oběh Země kolem Slunce

• Zadání: Země obíhá kolem Slunce po elipse s malou excentricitou. Vzdálenost od Slunce proto periodicky kolísá. Určete frekvenci a periodu těchto oscilací.
• Předpoklady: Pohyb je rovinný, celkový moment hybnosti b = 2.7×10⁴⁰ kgm²s^-1.

• Řešení: Při pohybu se zachovává celková energie a celkový moment hybnosti Země:

První člen v energii souvisí s radiálním pohybem Země (přibližování ke Slunci a a vzdalování od Slunce). Druhý člen odpovídá kinetické energii rotace Země kolem Slunce a třetí člen gravitační potenciální energii. Oběžná rychlost je označena v. K popisu pohybu využíváme polární souřadnice. Při pohybu se radiální i úhlová proměnná mění s časem. Výše uvedené kombinace jsou ale v průběhu celého pohybu neproměnné. Zajímá nás pohyb v radiální souřadnici, proto z druhé rovnice vyloučíme časovou derivaci úhlu a dosadíme do první rovnice. Pro zákon zachování energie tak dostaneme

Část energie závisící na poloze r můžeme chápat jako efektivní potenciální energii, která se skládá z potenciální energie odstředivých sil (~1/r²) a gravitační potenciální energie (~ - 1/r): 

Tato potenciální energie má minimum. Standardním postupem (viz minulý příklad) určíme pozici minima energie r₀ (střední vzdálenost Země od Slunce), „tuhost“ oscilátoru , frekvenci a periodu kmitů.

• Výsledek: r₀ ~ 150×10⁶ km, T ~ 365 dní.

Př. 5.: Tlumení v energii

• Zadání: Amplituda tlumeného kmitu klesá s časem podle vztahu A(t) = A₀ e^{-d t}. Určete jakým způsobem klesá energie.
• Řešení: Podle definice má harmonický oscilátor kvadratickou závislost energie na výchylce (například potenciální energie W_p = 1/2 ky², celková energie E = 1/2 kA²). Energie bude tedy ubývat podle výrazu E(t) = E₀ e^{-2d t}.
  

Př. 6.: Amplitudová a výkonová rezonance

• Zadání: Nalezněte maximum amplitudy a maximum přeneseného výkonu u vynucených kmitů.

• Předpoklady: Označíme w₀ vlastní frekvenci oscilací, W frekvenci vnější síly a d koeficient útlumu. Známe velikost amplitudy vynucených kmitů a velikost průměrného přeneseného výkonu:

• Řešení: Je třeba nalézt maximum obou výše uvedených funkcí vzhledem k vynucující frekvenci W. Není nutné začít tyto funkce bezhlavě derivovat. Stačí si uvědomit, že má-li například první funkce maximum, bude ho také mít argument v odmocnině. Má-li tento argument maximum, bude mít jmenovatel v odmocnině minimum. Stačí tedy derivovat jen jmenovatel uvedené funkce a výsledek položit rovný nule. Obdobně u druhé funkce není nutné řešit celou podmínku pro podíl (u' v - uv' )/v² = 0, ale jen podmínku u' v = uv' . Dokonce nemusíme derivovat podle W, ale postačí derivovat jen podle W². Pro maximum amplitudy tak dostaneme podmínku

ze které plyne rezonanční frekvence

Pro maximum přeneseného výkonu získáme po derivování vztah

 

který po vykrácení a odečtení stejných členů přejde na

Pozor! Dalším zkrácením výrazů na obou stranách bychom přišli o hledané řešení:

• Výsledek:

Amplituda je nejvyšší při frekvenci
Přenesený výkon je nejvyšší při frekvenci

Př. 7.: Fázový portrét oscilátoru

• Zadání: Nalezněte fázový portrét (závislost výchylky na rychlosti nebo hybnosti) pro harmonický oscilátor.
• Řešení: Oscilátor koná harmonické kmity podle vztahu x(t) = A cos(w t). Rychlost je dána první derivací: v(t) = - A w sin(w t) . Z těchto dvou vztahů vyloučíme čas. Stačí například ze vztahů vypočíst funkce sinus a cosinus, umocnit na druhou a sečíst.
• Výsledek: Výsledkem je rovnice elipsy ve tvaru: (x/A)² + (v/Aw)² = 1. Můžete si představit, že po fázové trajektorii se pohybuje kulička, pohyb v ose x a v jsou odpovídají projekcím pohybu kuličky do těchto os. Fázový portrét bývá velmi důležitou charakteristikou popisovaného systému. Ne vždy je takto jednoduchý. U složitějších systémů můžeme z fázového portrétu určit oblasti, ve kterých systém osciluje, oblasti, ve kterých je stabilní nebo nestabilní. Různé oblasti fázového portrétu jsou odděleny křivkami, které nazýváme separatrisy.

Př. 8.: Numerické schéma

• Zadání: Navrhněte jednoduché diferenční schéma pro kyvadlo s velkými výchylkami.
• Předpoklady: Zanedbejte hmotnost závěsu kyvadla.
• Řešení: Vyjdeme ze standardní pohybové rovnice pro rotační pohyb Jd ²j/dt² = M_F . Za moment setrvačnosti dosadíme J = ml² a za moment síly M_F = - mgl sin j. Získáme tak výchozí diferenciální rovnici

která by pro malé rozkmity přešla v standardní rovnici harmonických oscilací, kterou umíte řešit. Pro obecné rozkmity ji musíme řešit numericky. Převedeme ji na soustavu dvou rovnic prvního řádu:

Časové derivace v rovnicích nahradíme konečnými přírůstky:

  .

Získáme tak schéma (předpis), ze kterého z počátečních podmínek j₀ a w₀ vypočteme hodnoty j₁ a w₁ v čase o Dt pozdějším, z těchto hodnot hodnoty j₂ a w₂, atd. Řešení je tak diskretizováno s časovým krokem Dt. Existují samozřejmě přesnější numerická schémata, ale základní princip snad na tomto příkladu pochopíte.

Př. 9.: Skládání kmitů, vlastní frekvence

• Zadání: Dvě kyvadla jsou spojena napříč pružinou s malou tuhostí k. Nalezněte vlastní frekvence a vlastní kmity systému. Jak bude vypadat obecný kmit soustavy?
• Předpoklady: Každé z kyvadel by samo o sobě kývalo harmonicky s frekvencí w₀.

• Řešení: Základní rovnice pro pohyb obou kyvadel budou doplněny o další harmonickou sílu odpovídající pružině:

Vlastním kmitem rozumíme takový kmit systému, při kterém všechny části systému kmitají (zde kývají) se stejnou frekvencí. Do soustavy proto dosadíme hledané řešení x_A = A exp[iwt],  x_B = B exp[iwt]. Získáme tak algebraickou soustavu rovnic pro amplitudy A a B

která má dvě nenulová řešení (determinant matice soustavy musí být nulový):

• Výsledek: Soustava má dvě vlastní frekvence a dva vlastní kmity. První vlastní kmit odpovídá synchronnímu pohybu obou kyvadel (A = B) a má původní frekvenci kyvadel. Frekvence tohoto modu tedy není ovlivněna pružinou.

Druhý vlastní kmit odpovídá pohybu kyvadel proti sobě (A = - B). Soustava koná kyvy na frekvenci w₁ poněkud vyšší než w₀ (pružina přispívá k tuhosti systému).

Libovolný jiný kyv systému je z důvodu linearity superpozicí předchozích řešení. Typické je vychýlení jednoho kyvadla, které začne předávat energii druhému kyvadlu a postupně se utlumí. Potom bude druhé kyvadlo předávat energii zpět prvnímu, atd. Můžeme hovořit buď o předávání energie a o rezonanci nebo o superpozici dvou vlastních kmitů s blízkou frekvencí, která vede na rázy.