Matematické vztahy
|
| f: R3(R4)
® R |
Skalární pole. Poloze (času a poloze) přiřadíme reálnou
hodnotu (teplotu, hustotu, výchylku, tlak, energii, ...). Například: p
= p(x, y, z), resp. p = p(t,
x, y, z). |
| K: R3(R4)
® R3 |
Vektorové pole. Poloze (času a poloze) přiřadíme
vektor (rychlost., elektrické pole, magnetické pole, ...). Například: B
= B(x, y, z), resp. B = B(t,
x, y, z). |
| g, S,
V |
Křivka, plocha, objem. |
| ¶g, ¶S,
¶V |
Hranice křivky, plochy, objemu. |
| dl = (dx, dy,
dz) |
Vektorový délkový element. |
| dl = (dx2
+ dy2 + dz2)1/2 |
Skalární délkový element. |
| dS = n dS |
Vektorový plošný element. Vektor normály n
míří u uzavřené plochy směrem ven. |
| dS |
Skalární plošný element. |
| dV |
Objemový element |
| Ń ş
(¶/¶x, ¶/¶y,
¶/¶z) |
Operátor "Nabla". Parciální derivace podle jednotlivých
proměnných. Také gradient či ¶/¶ x. |
| grad f ş
Ń f ş (¶f/¶x
; ¶f/¶y
; ¶f/¶z) |
Gradient funkce. Vektor kolmý k plochám konstantních
hodnot funkce f, míří k maximu funkce. Prohlédněte
si příklad "Gradient". |
rot K ş
Ń×K ş
(Kz , y- Ky,z ; Kx,z- Kz,x ; Ky,x- Kx, y) |
Rotace vektorové funkce. Rotace je nenulová jen v
centrech vírů vektorové funkce. Lze pomocí ní snadno zapsat cirkulaci vektorové
veličiny. Zápisy typu Kx, y znamenají
zkratku pro ¶Kx/¶y.
Rotace je opět uspořádanou trojicí čísel. Prohlédněte
si příklad "Rotace". |
div K ş
Ń·K ş
(Kx , x
+ Ky, y + Kz, z) |
Divergence vektorové funkce. Divergence je nenulová
jen v zdrojích a propadlech vektorové funkce. Lze pomocí ní snadno zapsat
tok vektorové veličiny plochou. Divergence je skalár, tj. jedno jediné
číslo. Prohlédněte si příklad "Divergence". |
 |
Cirkulace pole K. Křivkový integrál druhého
druhu podél uzavřené křivky g. |
 |
Tok pole K. Plošný integrál druhého druhu
přes uzavřenou plochu S. |
 |
Stokesova věta. Převod cirkulace pole po uzavřené
křivce (křivkového integrálu) na plošný integrál. |
 |
Gauss-Green-Ostrogradského věta. Převod toku pole
přes uzavřenou plochu na objemový integrál. |
Některé vektorové identity
|
| div rot K = 0 |
Lze dokázat: div P = 0 Ű $ K : P = rot K. |
| rot grad f = 0 |
Lze dokázat: rot P = 0 Ű $ f: P = - grad f. |
| rot rot K = grad div K - DK |
"Matfyzácký pokřik" |
| div (A×B) = B rot A - A rot B |
|
| A×(B×C) = B(A·C) - C(A·B) |
Bác-cáb pravidlo. |
Pravidla pro Fourierovu transformaci
Předpokládáme konvenci F(t, x) = ňG(w,
k)
exp[i(k·x - wt)] dw
d3k.
|
| ¶/¶t
® - i w |
grad ® + i k |
| ¶/¶x ® + i kx |
div ® +
i k· |
| ¶/¶y
® + i ky |
rot ® +
i k× |
| ¶/¶z
® + i kz |
D ®
- k2 |
Prohlédněte si příklady "Vlny
ve vakuu", "Vlny v anisotropním prostředí",
"Vlny ve vodiči" a "Vlny
ve vlnovodu".
Maxwellovy rovnice pro pole
|
| rot E = - ¶B/¶t |
Faradayův indukční zákon. Víry elektrického pole vznikají tam,
kde se magnetické pole mění s časem. Trojice rovnic pro časový vývoj magnetického
pole. |
| rot H = j + ¶D/¶t |
Ampérův zákon. Víry magnetického pole vznikají tam,
kde teče elektrický proud, nebo tam, kde se mění elektrické pole s časem.
Trojice rovnic pro časový vývoj elektrického pole. Druhý člen na pravé
straně se někdy nazývá "Maxwellův posuvný proud". |
| div B = 0 |
Gaussova věta magnetostatiky. Magnetické pole nemá
žádné zdroje. Neexistuje magnetický monopól. Okrajová podmínka k Faradayovu
indukčnímu zákonu. |
| div D = r |
Gaussova věta elektrostatiky. Zdrojem elektrických
polí jsou elektrické náboje. Okrajová podmínka k Ampérovu zákonu |
|
| D ş
e0E + P = D(E) |
Materiálový vztah. Charakterizuje reakce materiálu
na přítomnost elektrických polí. |
| H ş
B/m0
- M = H(B) |
Materiálový vztah. Charakterizuje reakce materiálu
na přítomnost magnetických polí. |
| r |
Hustota náboje. |
| j |
Proudová hustota. |
Maxwellovy rovnice pro potenciály
|
| (D - em¶2/¶t2) f = - r/e |
Rovnice pro skalární potenciál. |
| (D - em¶2/¶t2
) A = - m j |
Rovnice pro vektorový potenciál. |
| div A + em¶f/¶t
= 0 |
Lorentzova podmínka. |
| B = rot A |
Magnetická indukce. Vyjádření z potenciálů pole.
Prohlédněte si příklad "Potenciály". |
| E = - Ńf
- ¶A/¶t |
Intenzita elektrického pole. Vyjádření z potenciálů
pole. |
Hustota náboje a proudová hustota jsou zdrojovými členy Maxwellových rovnic.
Známe-li prostorové rozložení nábojů a jejich pohyby, můžeme z Maxwellových
rovnic dopočíst vzniklá elektrická a magnetická pole. Tato pole samozřejmě
způsobí změny hustoty náboje a proudové hustoty, které lze určit z Lorentzovy
pohybové rovnice. Maxwellovy rovnice tak řeší problém odezvy polí
na částice, Lorentzova pohybová rovnice odezvu částic na přítomnost
polí.Sada posledních pěti rovnic je ekvivalentní Maxwellovým rovnicím. Z
rozložení a pohybu nábojů známe hustotu náboje a proudovou hustotu. Z rovnic
pro skalární a vektorový potenciál nalezneme veličiny f
a A splňující Lorentzovu podmínku. Z posledních dvou
rovnic potom určíme hodnoty polí. Postup tedy je: (r, j) Ţ (f, A)
Ţ (E, B).
Základní vztahy z elektromagnetické teorie
|
| ¶r/¶t
+ div j = 0 |
Rovnice kontinuity. Zákon zachování elektromagnetického
náboje. |
| ¶rW/¶t
+ div jW = - j·E |
Rovnice kontinuity pro energii. Zákon zachování energie
elektromagnetického pole. Energie se nezachovává. Napravo stojí hustota
Jouleova výkonu. Touto cestou ztrácí elektromagnetické pole energii ve
prospěch částic. |
| rW
= E·D/2 + H·B/2 |
Hustota energie. [J/m3] |
| jW = S ş
E×H |
Tok energie (Poyntingův vektor). [J s-1
m-2] |
| I = |S| = |E×H| |
Intenzita elektromagnetického vlnění. [J s-1
m-2] |
| I = EH |
Intenzita elektromagnetického vlnění v homogenním isotropním
prostředí. Prohlédněte si příklad "Sluneční
světlo". |
| c = (em)-1/2 |
Rychlost šíření elektromagnetické vlny. |
| c = E/B |
Vztah mezi elektrickou a magnetickou složkou v elmg vlně.
(homogenní, isotropní prostředí). |
| (D - em¶2/¶t2
- gm¶/¶t
) E = 0 |
Telegrafní rovnice pro elektrické pole. |
| (D - em¶2/¶t2 - gm¶/¶t ) B = 0 |
Telegrafní rovnice pro magnetické pole. Telegrafní
rovnice popisují elektromagnetická pole ve vodičích. Člen s první časovou
derivací způsobuje útlum elektromagnetického vlnění ve vodiči. Je-li vodivost
nulová (g = 0), dostáváme z telegrafní rovnice
standardní vlnovou rovnici. Prohlédněte si příklad
"Vlny ve vodiči". |
Vlna na rozhraní
|
| Et
= const |
Tečná složka intenzity elektrického pole je na rozhraní
konstantní. |
| Ht ş Bt
/m0 - Mt = const |
Tečná složka intenzity magnetického pole je na rozhraní
konstantní. Rozhraním nesmí téct plošné proudy. Magnetizace M je
hustota magnetického dipólového momentu. |
| Bn
= const |
Normálová složka magnetické indukce je na rozhraní konstantní. |
| Dn
ş e0En
+ Pn = const |
Normálová složka elektrické indukce je na rozhraní konstantní.
Na rozhraní nesmí být plošná hustota náboje. Polarizace P je hustota elektrického
dipólového momentu. |
| wI
= wR = wT |
Úhlová frekvence dopadající, odražené a lámané vlny je stejná. |
| a = a' |
Zákon odrazu. |
| sina/sinb
= va /vb
ş n |
Zákon lomu. |
| sin am
= n |
Totální reflexe. Pro úhly dopadu menší než mezní
úhel am dochází k totální
reflexi. Aby rovnice měla řešení, musí být n = va/vb
< 1, tj jde o odraz na opticky řidším prostředí. |
| tg aB
= n |
Brewsterův zákon. Je-li úhel dopadu roven Brewsterově
úhlu aB, bude odražená vlna
obsahovat jen TE mod, tj. bude lineárně polarizovaná. Malá účinnost získávání
polarizovaného světla (u skla cca 20 %). |
| n > 1 Ţ j
= j + p |
Při odrazu na opticky hustším prostředí dochází k obrácení fáze elektromagnetické
vlny. |
