ELEKTROMAGNETICKÉ VLNY - PŘÍKLADY

Na této stránce naleznete:
	Gradient
	Divergence
	Rotace
	Vlny ve vakuu (ke zkoušce !!)
	Vlny v anizotropním prostředí
	Vlny ve vodiči
	Vlny ve vlnovodu
	Sluneční světlo
	Potenciály

 

Př. 1.: Gradient

• Zadání: Představte si, že nadmořská výška kopce je dána formulí: h(x, y) = 5 exp[-x² - 9 y²]. Nalezněte kolmé vektory k vrstevnicím v bodech o souřadnicích A = [3,0]; B = [-3,1].
• Řešení: Rovnice vrstevnic jsou h(x, y) = const. Tento vztah je snadné upravit na rovnici elipsy (x/3)² + y² = const. Kolmice k vrstevnicím v libovolném bodě jsou n = grad h = (¶h/¶x, ¶h/¶y) = 5 exp[-x² - 9 y²] (- 2x, -18y) ~ (-x, -9y). Nepodstatné konstanty mění jen délku vektoru a nic nemění na tom, že vektor je kolmý k vrstevnici, proto jsme tyto konstanty vynechali.
• Výsledek: n_A ~ (-3, 0) ~ (-1, 0); n_B ~ (+3, -9) ~ (+1, -3).

Př. 2.: Divergence

• Zadání: Nalezněte divergenci elektrického pole bodového náboje v celém prostoru.
• Předpoklady: Náboj je bodový (r ® 0,  r ® Ą).

Řešení: Elektrické pole v okolí bodového náboje je dáno Coulombovým zákonem: E = Q/(4pe₀r²) n, kde r je vzdálenost daného místa od náboje, n je jednotkový vektor n = (x/r, y/r, z/r) mířící od náboje. Elektrické pole má tedy složky (k = Q/(4pe₀)):

Pro výpočet divergence budeme potřebovat derivaci vzdálenosti podle jednotlivých proměnných:

¶r/¶x = ¶(x² + y² + z²)^1/2/¶x  = x/r, 
¶r/¶y = ¶(x² + y² + z²)^1/2/¶y  = y/r, 
¶r/¶z = ¶(x² + y² + z²)^1/2/¶z  = z/r.

Nyní již snadno určíme divergenci elektrického pole (derivujte jako podíly):

div E = ¶E_x/¶x + ¶E_y/¶y + ¶E_z/¶z = 0 pro r ą 0!

• Výsledek: Divergence elektrického pole je v celém prostoru nulová kromě množiny r = 0, ve které je zdroj pole - singulární hustota náboje.

Př. 3.: Rotace

• Zadání: Nalezněte rotaci z magnetického pole v okolí vodiče protékaného proudem.

Nezapomeňte, že viry jsou v počítači a v nás, výři létají po lesích a naše výpočty se týkají vírů.
• Předpoklady: Vodič je nekonečně dlouhý a limitně tenký (r ® 0,  j ® Ą).
• Řešení: Magnetické pole v okolí nekonečného tenkého vodiče je ve válcových souřadnicích dáno Ampérovým zákonem: B = m₀I /(2pr) t, kde r je vzdálenost daného místa od vodiče, osa z míří ve směru vodiče, t je tečný jednotkový vektor t = (-y/r, x/r, 0). Ověřte, že velikost tohoto vektoru je rovna jedné a že je kolmý k normálovému vektoru n = (x/r, y/r, 0). Magnetické pole má tedy složky (k = m₀I /(2p)):

Pro výpočet rotace budeme potřebovat derivaci vzdálenosti podle jednotlivých proměnných:

¶r/¶x = ¶(x² + y²)^1/2/¶x  = x/r, 
¶r/¶y = ¶(x² + y²)^1/2/¶y  = y/r,

Nyní již snadno určíme jednotlivé komponenty rotace magnetického pole (derivujte jako podíly):

rot B = (¶B_z/¶y - ¶B_y/¶z, ¶B_x/¶z - ¶B_z/¶x, ¶B_y/¶x - ¶B_x/¶y) = (0, 0, 0) pro r ą 0!

• Výsledek: Rotace magnetického pole je v celém prostoru nulová kromě množiny r = 0, ve které je centrum vírů a současně zdroj magnetického pole - singulární proudová hustota.

Př. 4.: Vlny ve vakuu (ke zkoušce !!)

• Zadání: Řešte pomocí Fourierovy transformace Maxwellových rovnic konfiguraci polí v elektromagnetické vlně ve vakuu. Nalezněte vztah pro rychlost šíření této vlny a vztah mezi elektrickou a magnetickou složkou pole.

Tomuto příkladu věnujte maximální pozornost, zkuste si podobně vyřešit jiné prostředí než vakuum (vodič, anizotropní prostředí, atd.). Něco snad stihnu na přednášce.

• Řešení:
  

Maxwellovy rovnice:	MR ve vakuu (j = 0, r = 0, D = e0E, B = m0H):
div D = r,  div B = 0,  rot E = - ¶B/¶t,  rot H = j + ¶D/¶t	div E = 0,  div B = 0,  rot E = - ¶B/¶t,  rot B = e0m0¶E/¶t.


Je třeba provést Fourierovu transformaci, tj. obecnou vlnu složit z lineárních vln typu exp[i(kx - wt)]. Vzhledem k linearitě Maxwellových rovnic postačí dosadit do MR jednu obecnou lineární vlnu. V praxi to znamená jednoduché nahrazení:


¶/¶t ® - i w;

Ń ® i k;

div ® i k × ;

rot ® i k×;

 
po kterém z Maxwellových rovnic máme

Odtud vyplývá, že vektory k, E, B tvoří ortogonální systém. Vektory E a B kmitají napříč směru šíření k, elektromagnetické vlnění je příčné. Poslední dvě relace nesou další informace. Vzhledem ke kolmosti vektorů můžeme ve velikostech psát: kE = wB, kB = e₀m₀wE. Vynásobením a vydělením obou rovnic získáme vztahy:

.

První vztah udává jednak rychlost šíření světla ve vakuu, jednak je nejjednodušší možnou disperzní relací w² = k²/e₀m₀. Druhý vztah udává poměr elektrické intenzity a magnetické indukce v elektromagnetické vlně E/B = c. V kombinaci se vztahem pro intenzitu I = EH ho lze použít k výpočtu E, B - například v záření od Slunce (prohlédněte si příklad "Sluneční světlo").

Př. 5.: Vlny v anizotropním prostředí

• Zadání: Řešte pomocí Fourierovy transformace Maxwellových rovnic konfiguraci polí v elektromagnetické vlně v elektricky anisotropním prostředí. V jakém směru míří fázová rychlost a v jakém směru míří grupová rychlost?
• Předpoklady: V anisotropním prostředí nemusí vektory E a D mířit ve stejném směru. Připomeňme si, že D = e₀E + P. Vektor polarizace P je hustota dipólových momentů, které vyvolá pole E. Ty ale mohou sledovat například krystalografické roviny a ne pole E. Výsledkem je, že pole E a D mají různý směr. Stejně tak může u magneticky aktivních materiálů docházet k magnetizaci prostředí a vektor H = B/m₀ - M nemusí mířit ve stejném směru jako B. Budeme předpokádat anisotropii elektrických vlastností, tj. elektrické vektory D a E nejsou rovnoběžné.
• Řešení: Opět položíme v Maxwellových rovnicích j = 0, r = 0. Vzhledem k anizotropii musíme v rovnicích ponechat oba elektrické vektory. Provedeme FT Maxwellových rovnic stejně jako v minulém příkladě. Po FT máme:

Fázová rychlost míří ve směru vlnového vektoru k, grupová rychlost ve směru šíření energie, tj. ve směru Poytingova vektoru E × H. poměry v elektromagnetické vlně v elektricky anisotropním prostředí tedy jsou:

Př. 6.: Vlny ve vodiči

• Zadání: Nalezněte pomocí Fourierovy transformace telegrafní rovnice disperzní relaci elektromagnetické vlny ve vodiči. Který člen způsobuje útlum vln? Nalezněte vztahy pro střední dobu útlumu a střední vzdálenost šíření vlny ve vodiči.
• Předpoklady: Vodič je jednodimenzionální, má směr osy x.

• Řešení: Ve vodiči splňují elektromagnetické vlny telegrafní rovnici:

(D - c^-2¶²/¶t² - gm¶/¶t) E  = 0.

Stejnou rovnici splňuje i magnetické pole. Obecná vlna je složena z rovinných vln tvaru exp[i (kx - wt)]. Nezapomeňte na použitou znaménkovou konvenci!! Po dosazení rovinné vlny (FT) máme disperzní relaci: w² =  c²k² - i c²gmw. Je-li vodivost nulová (g = 0), přejde tato disperzní relace ve známou disperzní relaci vln v nevodivém prostředí. Ve vodiči je disperzní relace komplexní, což obecně znamená útlum.
• Prostorový útlum: Hledejme nejprve prostorový útlum (řešení v k):
c²k² =  w²  + i c²gmw ~  i c²gmw. Vzhledem k vysoké vodivosti kovů jsme první člen na pravé straně zanedbali. Tento výraz již snadno odmocníme. Nezapomeňte, že i^1/2 = (1 + i)/Ö2. Proto k = k₁ + i k₂;   k₁ = (gmw/2)^1/2;   k₂ = (gmw/2)^1/2. Reálná i imaginární část vlnového vektoru je stejně veliké (to je pro kovy typické). V prostoru tedy bude mít vlna charakter exp[i k₁x - k₂x]. Vlna je tlumená s charakteristickou vzdáleností tlumení d_s = 1/k₂ = (gmw/2)^-1/2. Tuto vzdálenost (do které vlna pronikne) nazýváme skinová hloubka.
• Útlum v čase: Hledejme nyní útlum v čase (řešení v w). Disperzní relace je kvadratická rovnice pro w s řešením

w_1,2 = [- i c²gm ± (- c⁴g²m² + 4c²k²)^1/2]/2.

Uvědomíme-li si, že v diskriminantu je vodivostní člen dominantní (kov), zbývá jediné nenulové řešení w @ - i c²gm. Řešení ve frekvenci je ryze imaginární w = w₁ + i w₂   w₁ = 0;    w₂ = - c²gm. a má charakter útlumu exp[- i wt] = exp[w₂t] = exp[- c²gmt] s charakteristickou dobou útlumu t = |1/w₂| = 1/c²gm. Povšimněte si, že při důsledném dodržení znaménkové konvence (u prostoru +, u času -) ve vlnění typu exp[i (kx - wt)] vyšel útlum v čase i v prostoru.

Př. 7.: Vlny ve vlnovodu

• Zadání: Nalezněte pomocí Fourierovy transformace vlnové rovnice řešení pro jednu ze složek elektrického pole v obdélníkovém vlnovodu. Z disperzní relace určete podmínky šíření vlny.

• Řešení: Budeme hledat jen nejjednodušší ze složek: elektrické pole E_y. Toto pole míří ve směru osy y a obecně budeme předpokládat řešení ve tvaru:

E_y(t, x, z) = E₀ exp[i (k_xx + k_zz - wt)]. 

V ose x se mění velikost pole díky přítomnosti stěn (tečná složka elektrického pole je na vodivé stěně nulová), v ose z se vlna šíří a ke změně pole dojde například útlumem. Řešení je vzhledem k geometrii vlnovodu nezávislé na y (na normálovou složku nemáme na vodivé hranici žádné požadavky). Charakter řešení v proměnné x můžeme určit z podmínek pro tečnou složku pole na vodiči: 

E_y(t, 0, z) = E_y(t, a, z) = 0   pro " t, z. 

Ihned tak máme: 

E_y(t, x, z) = E₀ sin(k_xx) exp[i (k_zz - wt)],   
kde k_x = mp/a ,    m = 0, 1, 2, ... 

Řešení musí jako celek splňovat vlnovou rovnici (D - c^-2¶²/¶t²) E_y  = 0. Dosazením tohoto řešení do vlnové rovnice provádíme ve skutečnosti FT, protože každé řešení můžeme z rovinných vln složit. Po dosazení dostaneme: - k_x² - k_z² + w²/c² = 0. Pro k_x již máme podmínku z nulovosti tečných složek. Po dosazení této podmínky získáme jednoduchou disperzní relaci 

w² = m²w₀² + c²k_z²,   w₀ ş cp/a,   m = 0, 1, 2, ... 

Číslo m charakterizuje jednotlivé mody šířící se vlnovodem. Veličina w₀ se nazývá mezní frekvence vlnovodu. Tato disperzní relace je po formální stránce identická s disperzní relací šíření řádné elektromagnetické vlny plazmatem z příkladu "Disperze". Nalezení fázové a grupové rychlosti šíření vlny ve směru vlnovodu je také analogické

v_f = w/k_z = c (1 + (mw₀/ck_z)²)^1/2, 
v_g = ¶w/¶k_z = c / (1 + (mw₀/ck_z)²)^1/2. 

Je zřejmé, že fázová rychlost je opět vyšší než rychlost světla a grupová rychlost nižší než rychlost světla. Opět bychom mohli vlnový vektor k_z vyjádřit za pomoci vlnové délky šíření světla ve směru vlnovodu (k_z = 2p/l). Tím je zřejmá závislost rychlosti šíření vlny na vlnové délce světla (disperze).  Současně vidíme, že pro w > w₀ se vlnění bez problému šíří vlnovodem (alespoň základní mod m = 1) - disperzní relace je reálná. Při nižších frekvencích je vlnový vektor k_z komplexní a dochází k útlumu.

Př. 8.: Sluneční světlo

• Zadání: Sluneční záření má v okolí Země intenzitu I = 1.4 kW/m² (tj. na každou plochu o rozměrech 1 m² postavenou kolmo ke slunečnímu záření dopadá za každou sekundu energie 1400 J). Nalezněte průměrnou hodnotu intenzity elektrického a indukce magnetického pole v slunečním záření v místě, kde se nachází Země.
• Řešení: Intenzita dopadající energie je dána velikostí Poyntingova vektoru: I = EH. Poměr elektrické intenzity a magnetické indukce v elektromagnetické vlně je E/B = c. (Odvození tohoto vztahu naleznete v příkladě "Vlny ve vakuu"). Oba vztahy můžeme chápat jako soustavu dvou rovnic pro elektrické a magnetické pole:

m₀I = EB;    E/B = c.

Vynásobením a vydělením obou rovnic dostaneme řešení:

E = (cm₀I )^1/2;    B = (m₀I /c )^1/2.

• Výsledek: E = 726 V/m, B = 2.4×10^-6 T.

Př. 9.: Potenciály

• Zadání: Nalezněte skalární potenciál bodového náboje a vektorový potenciál v homogenním magnetickém poli. Dokázali byste totéž sami ve složitější situaci (například elektrický dipól a magnetické pole kolem vodiče protékaného proudem)?

Řešení: Doufám, že na elektrofakultě každý z Vás viděl odvození hodnoty skalárního potenciálu bodového náboje tolikrát, že by další odvozování bylo jen nošením dříví do lesa. Výsledkem je Coulombův potenciál f = Q/(4pe₀r). Nalezněme proto vektorový potenciál pro homogenní magnetické pole B = (0, 0, B). Pro vektorový potenciál musí platit B = rot A, tj:

V ose z míří magnetické pole, osa z je osou symetrie a proto nemůže vektorový potenciál záviset na souřadnici z (¶/¶z = 0):

Z prvních dvou rovnic plyne, že komponenta A_z je libovolná konstanta, stačí tedy volit A_z = 0. Z poslední rovnice nejsou potenciály A_x a A_y určeny jednoznačně. Řešením je například A_y = Bx, A_x = 0, nebo A_y = 0, A_x = - By, nebo kombinace obou řešení. Nejčastěji se pro vyjádření potenciálu v homogenním magnetickém poli používá některý z následujících výrazů:

Použijete-li libovolý výraz a provedete rotaci, vždy dostanete pole B = (0, 0, B). Vektorový potenciál není jednoznačně určen.