RELATIVITA - PŘÍKLADY

Na této stránce naleznete:
	Mion
	Interval
	Parametry rychlé částice
	Slunce
	Dopplerův jev
	Heavisideovo pole (ke zkoušce)
	Pound Rebkův experiment
	Kosmologický posuv
	Náboj v elektrickém poli

 

Př. 1.: Mion

• Zadání: Doba života mionu (těžký elektron) je Dt = 2.2´10^-6 s. Mion vznikl ve výšce h = 30 km nad povrchem Země z kosmického záření a dopadl na Zem. Jakou musel mít minimální  rychlost při vzniku?

• Řešení: Z hlediska pozorovatele na Zemi je mion v pohyblivé soustavě a doba jeho života se prodlužuje na Dt = g Dt. Mion proto může ulétnout až vzdálenost h Ł cDt = cg Dt. Z tohoto vztahu vypočteme rychlost, kterou musí minimálně mít: v = c[1 - (cDt/h)²]^1/2.
• Výsledek: v = 0.99976 c

Př.2.: Interval

• Zadání: Dokažte, že interval Ds² = - c²Dt² + Dx² + Dy² + Dz² je invariantní, tj. nezávisí na volbě souřadnic.
• Předpoklady: Předpokládáme, že máme dvě události (t_a, x_a, y_a, z_a) a (t_b, x_b, y_b, z_b) a v nějaké soustavě vypočteme veličinu   Ds², kde Dt = t_b - t_a, Dx = x_b - x_a, ... Tato veličina rozhoduje o tom, zda události mohou být kauzálně svázané a musí vyjít ve všech souřadnicových soustavách stejně.

• Řešení: Vyjdeme z Lorentzovy transformace

V čárkované soustavě pro interval obou událostí máme:

Ds' ² =  - c²Dt' ² + Dx' ² + Dy' ² + Dz' ² =  
= - c²g² (Dt - vDx/c²)² + g² (Dx -vDt)² + Dy² + Dz² =  
= - c²g²(1 - v²/c²)Dt² + g²(1 - v²/c²)Dx² + Dy² + Dz² =  
= - c²Dt² + Dx² + Dy² + Dz² .

Výsledek je tedy shodný v obou soustavách.

Př. 3.: Parametry rychlé částice

• Zadání: Elektron je urychlen napětím U = 10⁶ V. Určete jeho rychlost z klasického i relativistického výrazu pro kinetickou energii.

• Řešení: Elektron v každém případě urychlením získá kinetickou energii W_k = QU. V klasickém případě je

W_k = m₀v²/2    Ţ    v = (2W_k/m₀)^1/2 = (2QU/m₀)^1/2.

V relativistickém případě je

W_k = gm₀c² - m₀c²    Ţ    v = c[1 - (1 + QU/m₀c²)^-2]^1/2.

• Výsledek: v_nerel = 1.98 c, v_rel = 0.94 c. Nerelativistický výraz tedy zjevně nemůžeme v tomto případě použít, vede k nadsvětelným rychlostem.

Př. 4.: Slunce

• Zadání: Jak se změní hmotnost Slunce za jeden rok díky jeho vyzařování? Intenzita slunečního záření v okolí Země je I = 1.4 kW m^-2.

• Řešení: Dm = DE/c² = PDt /c² = 4pR²I Dt/c².
• Výsledek: Dm ~ 10¹⁷ kg. Celková hmotnost Slunce je 2´10³⁰ kg. Jde tedy o zanedbatelný zlomek.

Př. 5.: Dopplerův jev

• Zadání: Odvoďte relativistický Dopplerův jev pomocí transformace čtyřvektoru (w/c, k). Proč dochází k Dopplerovu jevu i tehdy, když zdroj pozorovatele jen míjí a jejich vzdálenost se nemění (tzv. transverzální Dopplerův jev)?
• Řešení:

Snadno nalezneme řešení v soustavě S ' spojené s zdrojem záření:
k_m = (w₀/c; k_xcos a; k_ysin a; 0) = (w₀/c; w₀/c cos a; w₀/c sin a; 0). Nyní provedeme Lorentzovu transformaci do soustavy pozorovatele S:

.

Z prvního řádku maticového násobení máme výsledek

w = g (1 + v/c cos a) w₀.

tento vztah je známý jako relativistický Dopplerův jev. V limitě nízkých rychlostí (zanedbáme členy kvadratické a vyšší v v/c) je c ® 1 a w = (1 + v/c cos a) w₀. Při vzdalování zdroje je a = 180° a w = (1 - v/c) w₀, při přibližování zdroje je a = 0° a w = (1 + v/c) w₀. Jde o známé nerelativistické Dopplerovy vztahy. Při vyšších rychlostech jsou tyto vztahy modifikovány koeficientem g. Jestliže zdroj záření pozorovatele míjí (a = ± 90°) je w = g w₀. K změně frekvence tedy dochází i v případě, že se zdroj nevzdaluje ani nepřibližuje. Tento jev se nazývá transverzální Dopplerův jev a jde o čistě relativistický jev, který nemá v nerelativistické fyzice obdoby. Je způsoben změnou chodu času v pohybující se soustavě.

Př. 6.: Heavisideovo pole (ke zkoušce)

• Zadání: Určete pole náboje letícího konstantní rychlostí. Využijte transformaci čtyřvektoru (f/c, A).
• Řešení:

Provedeme transformaci do soustavy S pozorovatele

.  

Výsledek je

Je zřejmé, že magnetické pole B = rot A je již nenulové, a že elektrické pole E = - ¶ A/¶ t - ¶ f /¶ x je také modifikováno. Nový tvar polí je

Důležitá je kolmá a rovnoběžná složka elektrického pole:

Vidíme, že elektrické pole ve směru pohybu je stlačeno faktorem g^-2 a napříč pohybu je nataženo faktorem g. Pole se pohybuje spolu s nábojem. Magnetické pole tvoří kružnice kolmé na pohyb náboje. Pro nekonečnou řadu nábojů bychom získali pole kolem vodiče. Podobně lze postupovat při transformaci energie a hybnosti, hustoty a proudové hustoty, atd. 

Př. 7.: Pound Rebkův experiment

• Zadání: Určete relativní změnu frekvence a vlnové délky v Pound-Rebkově experimentu. Foton prolétal starou vodárenskou věží o výšce Dh = 22.6 m. Použity byly fotony s energií 14.4 keV emitované izotopem železa Fe57.
• Řešení: Ze vztahu Dw/w₀ = - Dl/l₀ = Df/c²  = gDh/c² snadno určíme Dw/w₀ = 2.5´10^-15, Dl/l₀ = - 2.5´10^-15.

Př. 8.: Kosmologický posuv

• Zadání: Quasar má rudý posuv z = 2.5. Určete pozorovanou vlnovou délku čáry l = 680 nm. Jaké byly rozměry Vesmíru v době, kdy quasar vyslal záření?

• Řešení: Stačí vyjít ze základního vztahu pro kosmologický rudý posuv: z = Dl/l₀ = [R(t) - R(t₀)]/R(t₀). Odsud snadno určíme:

2.5 = l/l₀ - 1    Ţ    l = 3.5 l₀ = 2380 nm.

Obdobně

2.5 = R/R₀ - 1    Ţ    R₀ = R /3.5 = 29% R.

Vlnová délka je posunuta do neviditelné infračervené oblasti spektra. Rozměry Vesmíru byly v době vyslání signálu 29% rozměrů dnešních.

Př. 9.: Náboj v elektrickém poli

Zadání: Řešte urychlování náboje z nulové rychlosti ve směru pole nerelativisticky a relativisticky.
Řešení nerelativistické: Budeme integrovat pohybovou rovnici

.

Nerelativistické řešení má zjevné vady, například 

 .

Náboj je nekontrolovatelně urychlován na jakoukoli rychlost.
Řešení relativistické: Budeme integrovat relativistickou pohybovou rovnici

 .

Vidíme, že po první integraci jsme nedostali rychlost samotnou, ale vztah, ze kterého teprve musíme rychlost vypočítat:

 .

Výraz pro rychlost již není tak jednoduchý, zato ale nediverguje, 

 .

Chcete-li znát polohu, je třeba provést ještě jednu integraci:

 .