TERMODYNAMIKA - PŘÍKLADY

Na této stránce naleznete:
	Raketa
	Ryba
	Barometrická formule (ke zkoušce!)
	Vodorovný vrh
	Měrná tepla
	Úplné a neúplné diferenciály
	Účinnost tepelného stroje
	Růst ledu na rybníce
	Reálný plyn

Př. 1.: Raketa

• Zadání: na oběžné dráze se nachází raketa o objemu 10 m³. Uvnitř je vakuum. Nějakým způsobem vpravíme dovnitř 1 cm³ (1 gram) vody. Určete tlak vodních par, který vznikne v raketě. Teplota lodi i vody je 100 K.
• Předpoklady: Jde o izotop vody H₂O, známe hmotnost jednoho nukleonu m_p.

• Řešení: Tlak spočteme ze stavové rovnice p = NkT / V. Počet částic určíme jako podíl hmotnosti kapky a jedné molekuly vody: N = m/m₀ = m/(18 m_p) .
• Výsledek: je 4.6 Pa.

Př. 2.: Ryba

• Zadání: Ryba vypustí na dně rybníka, v hloubce 5 m, bublinu (T = 10 °C, V = 1 cm³). Určete její objem na povrchu rybníka (T = 20 °C).
• Předpoklady: Zanedbejte absorpci molekul plynu do vody (N = const).

• Řešení: Využijeme stavovou rovnici při konstantním počtu částic: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂. Odsud plyne:

.

Známé hodnoty:

p1 = patm + hrg = 1.5×105 Pa  p2 = patm = 1.0×105 Pa  T1 = 283 K  T2 = 293 K  V1 = 1 cm3

 
• Výsledek: V₂ = 1.55 cm³.
• Modifikace (pro nepodprůměrné studenty): Zkuste si najít závislost velikosti bubliny na hloubce za předpokladu, že teplota roste ode dna k povrchu lineárně. Zkuste sestavit pohybovou rovnici bubliny (silou je vztlak) a řešit pohyb bubliny v závislosti na čase.

Př. 3.: Barometrická formule (ke zkoušce!!)

• Zadání: Určete rozložení tlaku s výškou nad povrchem Země.
• Předpoklady: Výška atmosféry (stovky km) je vzhledem k poloměru Země malá a proto budeme předpokládat, že na jednotlivé molekuly (dusíku) působí místo celkové gravitační síly jen tíhová síla m₀g, m₀ je hmotnost jedné molekuly. Teplota v atmosféře je konstantní.

• Řešení: Vrstva atmosférického sloupce tloušťky Dy zvýší povrchový tlak o Dp = DF/ S = - m₀g DN / S, kde DN je počet částic ve vrstvě, který určíme ze stavové rovnice p DV = DN kT. Objem DV  = S Dy. Je-li vrstva limitně tenká, získáme diferenciální rovnici

dp / dy = - (m₀g /kT ) p .

Diferenciální rovnici vyřešíme standardními metodami pro řešení lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu. Můžeme sestavit charakteristickou rovnici nebo rovnici řešit metodou separace.

• Výsledek: Barometrická formule

p(y) = p(0) exp[- m₀gy / kT ].

Př. 4.: Vodorovný vrh

• Zadání: Nalezněte mechanickou práci vykonanou tíhovým polem při vodorovném vrhu (po různých trajektoriích). Je diferenciální forma pro mechanickou práci ve tvaru úplného diferenciálu?

• Řešení:

  Silové pole: F  = (0 , - mg )

Parametrické zadání křivek a jejich diferenciálů:

.

Koncový čas u křivky g zjistíme z podmínky dopadu y = 0. U křivek g₁ a g₂ má t význam parametru křivky a neodpovídá času jako u křivky g. Vykonaná práce je 

. 

Z podmínky snadno zjistíme, že diferenciální forma je ve tvaru totálního diferenciálu a výsledek tedy nemůže záviset na integrační cestě:

• Výsledek:

Př. 5.: Měrná tepla

• Zadání: Určete měrná molární tepla C_p a C_v pro jednoatomární plyn. Určete měrná tepla c_p a c_v za normálních podmínek, je-li hustota plynu 1.3 kgm^-3.
• Předpoklady: Za normální podmínky považujeme atmosférický tlak p_A   = 10⁵ Pa a pokojovou teplotu T = 300 K.

• Řešení: Vyjdeme z Mayerova vztahu C_P = C_V + R a z Poissonova vztahu C_P/C_V = (f+2)/f. Oba vztahy chápeme jako soustavu rovnic pro neznámá měrná molární tepla. Po vyřešení máme:

C_V = f /2 R ,
C_P = (f /2 + 1) R .

Nyní zbývá určit měrná tepla c_P a c_V. Z definic tepel C, c

plyne vztah c = n/m C. Počet molů n určíme ze stavové rovnice pV = nRT a hmotnost plynu z definice hustoty r = m/V. Dostaneme tak

• Výsledek: C_V = 12.45 JK^-1mol^-1, C_P = 20.75 JK^-1mol^-1, c_V  = 385 JK^-1kg^-1, c_P = 641 JK^-1kg^-1.

Př. 6.: Úplné a neúplné diferenciály

• Zadání: 1 m³ plynu za normálních podmínek je zahřán nejprve isochoricky na teplotu 600 K a poté isobaricky na teplotu 1800 K.
  • určete celkovou vykonanou práci, změnu tepelné energie, vnitřní energie a entropie.
  • určete tyto změny, došlo-li by k přechodu do koncového stavu přímo po přímce v pV diagramu. Porovnejte výsledky s tím, co víte o úplných a neúplných diferenciálech.
  • jakou mechanickou práci by plyn vykonal, kdyby byl děj kruhový?
• Předpoklady: Plyn je dvojatomární. Za normální podmínky považujeme atmosférický tlak p_A = 1 atm = 10⁵ Pa a pokojovou teplotu T = 300 K.

• Řešení: Ze stavové rovnice pV = NkT, resp pV = nRT určíme stavové parametry jednotlivých bodů:

A:	TA= 300 K	pA= 1 atm	VA= 1 m3
B:	TB = 600 K	pB = 2 atm	VB = 1 m3
C:	TC = 1800 K	pC = 2 atm	VC = 3 m3

Navíc pro všechny tři body je ve stavové rovnici shodný výraz a = nR = Nk = pV/T = 1/300 atm m³ K^-1, který souvisí s množstvím plynu.

Snadno určíme rovnice všech tří křivek (g₃ je úsečka procházející body A a C):

Nejprve spočtěme vykonanou mechanickou práci po obou cestách:

Povšimněte si, že hodnoty odpovídají přesně ploše pod příslušnými křivkami. Práce není úplný diferenciál a proto po různých cestách vyšel různý výsledek. Po uzavřené křivce je integrál mechanické práce nenulový a geometricky má význam plochy uzavřené křivkou v pV diagramu:

Určeme nyní například integrál entropie. Obecně platí:

.

Po jednotlivých cestách máme:

Je vidět, že DS₁ + DS₂ = DS₃. Integrál po obou cestách je stejný, protože entropie je úplným diferenciálem. Po uzavřené křivce je integrál entropie nulový (Clausiova rovnice).

Podobně bychom postupovali u určování dalších veličin (vnitřní energie, která je úplným diferenciálem a tepelné energie, která není úplným diferenciálem).

Př. 7.: Účinnost tepelného stroje

• Zadání: Určete maximální možnou účinnost tepelného stroje, který je chlazený proudící vodou (T = 20° C) a ohříván vodní párou (T = 200° C).

• Řešení: Využijeme Carnotův vztah h = (T -  T₀)/T.  Podle Carnotovy věty jde o největší možnou účinnost. Pozor! Hodnoty je třeba zadat v absolutní teplotní stupnici.
• Výsledek: 38 %.

Př. 8.: Růst ledu na rybníce

• Zadání: Určete funkci času, podle které narůstá led na hladině rybníka. Zjistěte za jakou dobu naroste deseticentimetrová vrstva při teplotě -5° C.
• Předpoklady: Led přirůstá na spodní straně (na styku ledu s vodou), kde je teplota rovna teplotě fázového přechodu, tj 0° C. Měrné skupenské teplo tání l, koeficient tepelné vodivosti l, hustotu ledu r a jiné potřebné hodnoty naleznete v tabulkách materiálových konstant.

• Řešení:

  Ve vrstvě, kde se mění voda v led se uvolňuje tepelná energie dQ = l dm = l r dV = l r S dh. Toto teplo musí být odvedeno skrze vrstvu ledu podle vztahu: dQ/dt = l(S×Ń)T = lS DT/h. Porovnáním obou vztahů získáme diferenciální rovnici:

kterou řešíme separací proměnných: 

Po integraci nalezneme řešení

Vidíme, že led zpočátku narůstá rychle. Později se nárůst zpomaluje, protože odvod tepla probíhá tlustší vrstvou ledu.

• Výsledek: Deseticentimetrová vrstva ledu naroste při venkovní teplotě -5° C cca za dva dny.

Př. 9.: Reálný plyn

• Zadání: Určete rozměry molekul reálného plynu, znáte-li jeho kritické parametry. Řešte pro vodu a CO₂.
• Předpoklady: Předpokládáme, že se reálný plyn chová podle van der Waalsovy rovnice (stavová rovnice opravená na vlastní objem molekul a na kohézní tlak). Potřebné hodnoty konstant naleznete v tabulkách materiálových konstant.

• Řešení: Van der Waalsovu rovnici pro jeden mol plynu (p + a/V ²)(V - b) = RT  přepíšeme do tvaru kubické rovnice pro objem a dosadíme kritickou teplotu a tlak:

Van der Waalsova rovnice má buď tři nebo jedno reálné řešení. Kritická izoterma je degenerovaný případ, při kterém všechna tři reálná řešení splynou. Rovnice kritické izotermy proto musí mít tvar (V - V_c)³ = 0. Po roznásobení porovnáme koeficienty obou vyjádření a získáme soustavu rovnic

Jde o vztah mezi kritickými parametry plynu a Van der Waalsovými konstantami a a b. Z experimentu zpravidla známe hodnoty T_c a p_c. Z rovnic vyloučíme kritický objem (např. vydělíme třetí a druhou rovnici a V_c dosadíme do první a druhé rovnice) a nalezneme konstanty a a b: 

Konstanta b má význam objemu jednoho molu molekul plynu. Objem jedné molekuly proto bude V₀ = b/N_A a lineární rozměr molekuly bude r₀ ~ (V₀)^1/3.

• Výsledek:

Pro CO₂: b = 4.26×10^-5 m³ mol^-1, r₀ ~ 4.1×10^-10 m.
Pro H₂O: b = 3.05×10^-5 m³ mol^-1, r₀ ~ 3.7×10^-10 m.