KMITY - PŘÍKLADY



Př. 1.: Zkumavka

  • Zadání: Zkumavka zatížená broky se pohupuje na vodní hladině. Určete frekvenci a periodu kmitů. Průřez zkumavky je S = 1 cm2 a hmotnost zkumavky s broky m = 20 g.

  • Předpoklady: Kmity zkumavky neovlivní výšku hladiny vody v kádince.
  • Řešení: Nekmitá li zkumavka, je v rovnováze vztlaková síla s tíhovou. Porušíme-li rovnováhu, objeví se vratná vztlaková síla (hydrostatický vztlak) a kmity zkumavky můžeme popsat pohybovou rovnicí:

    Tuto rovnici uvedeme na standardní tvar

    a odečteme úhlovou frekvenci kmitů

    Periodu určíme ze vztahu T = 2 p/w.
  • Výsledek: w = 7 s-1, T = 0.9 s.

Př. 2.: Tunel v Zemi

  • Zadání: Představte si, že napříč Zemí je vystavěn tunel, do kterého vhodíme nějaký předmět. Jaký pohyb bude vykonávat? Vrátí se někdy zpět? Jestliže ano, kdy?

  • Předpoklady: Zemi půjde provrtat a vnitřní teplo a tlak tunel nezničí. Těleso se při průletu neroztaví. Hustota Země je konstantní. Poloměr Země je R = 6400 km a hmotnost M = 6×1024 kg.
  • Řešení: Na předmět o hmotnosti m0 působí gravitačně jen část Země uvnitř poloměru r(t), která má hmotnost m(r) = M r3/R3 (v poměru objemů). Pohybová rovnice potom je

    Jedná se o rovnici kmitů, kterou upravíme na standardní tvar

    a odečteme úhlovou frekvenci kmitů

    Periodu určíme opět ze vztahu T = 2 p/w.
  • Výsledek: Předmět se vrátí za 1.4 hodiny.

Př. 3.: Morseův potenciál (ke zkoušce !!)

  • Zadání: Dvojatomová molekula má potenciální energii danou Morseovým potenciálem

.

    Nakreslete průběh potenciální energie, diskutujte oblast přitažlivých a odpudivých sil. Nalezněte úhlovou frekvenci oscilací.
  • Předpoklady: Rozkmity jsou malé, potenciální energii jde nahradit parabolickou závislostí.
  • Průběh potenciální energie:

  • Řešení: Jde o průběh potenciální energie s minimem v r0 (viz obrázek). Pro r < r0 je síla odpudivá a pro r > r0 je síla přitažlivá (míří vždy k minimu potenciální energie). Výsledným pohybem proto budou kmity. Potenciál nahradíme pomocí Taylorova rozvoje parabolickou závislostí:

.

    Jde o harmonický oscilátor (parabolická závislost energie na výchylce z minima). Označíme-li tuhost oscilátoru  a výchylku z rovnovážné polohy y ş r - r0 máme

    a standardním způsobem určíme frekvenci

.


Př. 4.: Oběh Země kolem Slunce

  • Zadání: Země obíhá kolem Slunce po elipse s malou excentricitou. Vzdálenost od Slunce proto periodicky kolísá. Určete frekvenci a periodu těchto oscilací.
  • Předpoklady: Pohyb je rovinný, celkový moment hybnosti b = 2.7×1040 kgm2s-1.

  • Řešení: Při pohybu se zachovává celková energie a celkový moment hybnosti Země:

    První člen v energii souvisí s radiálním pohybem Země (přibližování ke Slunci a a vzdalování od Slunce). Druhý člen odpovídá kinetické energii rotace Země kolem Slunce a třetí člen gravitační potenciální energii. Oběžná rychlost je označena v. K popisu pohybu využíváme polární souřadnice. Při pohybu se radiální i úhlová proměnná mění s časem. Výše uvedené kombinace jsou ale v průběhu celého pohybu neproměnné. Zajímá nás pohyb v radiální souřadnici, proto z druhé rovnice vyloučíme časovou derivaci úhlu a dosadíme do první rovnice. Pro zákon zachování energie tak dostaneme

    Část energie závisící na poloze r můžeme chápat jako efektivní potenciální energii, která se skládá z potenciální energie odstředivých sil (~1/r2) a gravitační potenciální energie (~ - 1/r)

    Tato potenciální energie má minimum. Standardním postupem (viz minulý příklad) určíme pozici minima energie r0 (střední vzdálenost Země od Slunce), „tuhost“ oscilátoru , frekvenci a periodu kmitů.

  • Výsledek: r0 ~ 150×106 km, T ~ 365 dní.

Př. 5.: Tlumení v energii

  • Zadání: Amplituda tlumeného kmitu klesá s časem podle vztahu A(t) = A0 e-d t. Určete jakým způsobem klesá energie.
  • Řešení: Podle definice má harmonický oscilátor kvadratickou závislost energie na výchylce (například potenciální energie Wp = 1/2 ky2, celková energie E = 1/2 kA2). Energie bude tedy ubývat podle výrazu E(t) = E0 e-2d t.

Př. 6.: Amplitudová a výkonová rezonance

  • Zadání: Nalezněte maximum amplitudy a maximum přeneseného výkonu u vynucených kmitů.

  • Předpoklady: Označíme w0 vlastní frekvenci oscilací, W frekvenci vnější síly a d koeficient útlumu. Známe velikost amplitudy vynucených kmitů a velikost průměrného přeneseného výkonu:

  • Řešení: Je třeba nalézt maximum obou výše uvedených funkcí vzhledem k vynucující frekvenci W. Není nutné začít tyto funkce bezhlavě derivovat. Stačí si uvědomit, že má-li například první funkce maximum, bude ho také mít argument v odmocnině. Má-li tento argument maximum, bude mít jmenovatel v odmocnině minimum. Stačí tedy derivovat jen jmenovatel uvedené funkce a výsledek položit rovný nule. Obdobně u druhé funkce není nutné řešit celou podmínku pro podíl (u' v - uv' )/v2 = 0, ale jen podmínku u' v = uv' . Dokonce nemusíme derivovat podle W, ale postačí derivovat jen podle W2. Pro maximum amplitudy tak dostaneme podmínku

    ze které plyne rezonanční frekvence

    Pro maximum přeneseného výkonu získáme po derivování vztah

     

    který po vykrácení a odečtení stejných členů přejde na

    Pozor! Dalším zkrácením výrazů na obou stranách bychom přišli o hledané řešení:

  • Výsledek:
Amplituda je nejvyšší při frekvenci
Přenesený výkon je nejvyšší při frekvenci 

Př. 7.: Fázový portrét oscilátoru

  • Zadání: Nalezněte fázový portrét (závislost výchylky na rychlosti nebo hybnosti) pro harmonický oscilátor.
  • Řešení: Oscilátor koná harmonické kmity podle vztahu x(t) = A cos(w t). Rychlost je dána první derivací: v(t) = - A w sin(w t) . Z těchto dvou vztahů vyloučíme čas. Stačí například ze vztahů vypočíst funkce sinus a cosinus, umocnit na druhou a sečíst.
  • Výsledek: Výsledkem je rovnice elipsy ve tvaru: (x/A)2 + (v/Aw)2 = 1. Můžete si představit, že po fázové trajektorii se pohybuje kulička, pohyb v ose x a v jsou odpovídají projekcím pohybu kuličky do těchto os. Fázový portrét bývá velmi důležitou charakteristikou popisovaného systému. Ne vždy je takto jednoduchý. U složitějších systémů můžeme z fázového portrétu určit oblasti, ve kterých systém osciluje, oblasti, ve kterých je stabilní nebo nestabilní. Různé oblasti fázového portrétu jsou odděleny křivkami, které nazýváme separatrisy.


Př. 8.: Numerické schéma

  • Zadání: Navrhněte jednoduché diferenční schéma pro kyvadlo s velkými výchylkami.
  • Předpoklady: Zanedbejte hmotnost závěsu kyvadla.
  • Řešení: Vyjdeme ze standardní pohybové rovnice pro rotační pohyb Jd 2j/dt2 = MF . Za moment setrvačnosti dosadíme J = ml2 a za moment síly MF = - mgl sin j. Získáme tak výchozí diferenciální rovnici

    která by pro malé rozkmity přešla v standardní rovnici harmonických oscilací, kterou umíte řešit. Pro obecné rozkmity ji musíme řešit numericky. Převedeme ji na soustavu dvou rovnic prvního řádu:

    Časové derivace v rovnicích nahradíme konečnými přírůstky:

  .

    Získáme tak schéma (předpis), ze kterého z počátečních podmínek j0 a w0 vypočteme hodnoty j1 a w1 v čase o Dt pozdějším, z těchto hodnot hodnoty j2 a w2, atd. Řešení je tak diskretizováno s časovým krokem Dt. Existují samozřejmě přesnější numerická schémata, ale základní princip snad na tomto příkladu pochopíte.


Př. 9.: Skládání kmitů, vlastní frekvence

  • Zadání: Dvě kyvadla jsou spojena napříč pružinou s malou tuhostí k. Nalezněte vlastní frekvence a vlastní kmity systému. Jak bude vypadat obecný kmit soustavy?
  • Předpoklady: Každé z kyvadel by samo o sobě kývalo harmonicky s frekvencí w0.

  • Řešení: Základní rovnice pro pohyb obou kyvadel budou doplněny o další harmonickou sílu odpovídající pružině:

    Vlastním kmitem rozumíme takový kmit systému, při kterém všechny části systému kmitají (zde kývají) se stejnou frekvencí. Do soustavy proto dosadíme hledané řešení xA = A exp[iwt]xB = B exp[iwt]. Získáme tak algebraickou soustavu rovnic pro amplitudy A a B

    která má dvě nenulová řešení (determinant matice soustavy musí být nulový):

  • Výsledek: Soustava má dvě vlastní frekvence a dva vlastní kmity. První vlastní kmit odpovídá synchronnímu pohybu obou kyvadel (A = B) a má původní frekvenci kyvadel. Frekvence tohoto modu tedy není ovlivněna pružinou.
  • Druhý vlastní kmit odpovídá pohybu kyvadel proti sobě (A = - B). Soustava koná kyvy na frekvenci w1 poněkud vyšší než w0 (pružina přispívá k tuhosti systému).

    Libovolný jiný kyv systému je z důvodu linearity superpozicí předchozích řešení. Typické je vychýlení jednoho kyvadla, které začne předávat energii druhému kyvadlu a postupně se utlumí. Potom bude druhé kyvadlo předávat energii zpět prvnímu, atd. Můžeme hovořit buď o předávání energie a o rezonanci nebo o superpozici dvou vlastních kmitů s blízkou frekvencí, která vede na rázy.


 
   Termodynamika     Kmity     Vlny     Elmg. vlny     Optika     Relativita     Kv. teorie   
   Příklady     Příklady     Příklady     Příklady     Příklady     Příklady     Příklady