Teória

Výpočet

Chyby merania - Teória



Praktický postup pri meraniach

Ciele každého merania môžeme rozložiť na:

  • čo najviac sa priblížiť k správnej hodnote meranej fyzikálnej veličiny X
  • pre požadovanú mieru spoľahlivosti P určiť interval spoľahlivosti merania

Je zrejmé, že v pri realizácii merania nemôžeme dosiahnuť nekonečný počet meraní pre určenie hodnôt a . S použitím štatistiky môžeme však tieto hodnoty určiť s obmedzenou presnosťou so súboru pozostávajúceho z konečného počtu meraní.
Ak meraním fyzikálnej veličiny získame súbor nameraných hodnôt Xi, i=1,...,n potom hodnote sa použitím tohoto súboru najviac blíži hodnota, ktorú nazývame aritmetický priemer, označíme ju Xn a vypočítame ju pomocou vzťahu:

(5)

Rozptyl merania chrakterizuje stredná kvadratická ochýlka merania. Tú určíme pomocou vzťahu:

(6)


Hodnoty Xn a závisia od konkrétneho súboru nameraných hodnôt a majú teda tiež náhodný charakter. Keby sme merali veľa takýchto súborov, pre každý určili túto dvojicu hodnôt, potom možno dokázať, že platí:

(7),(8)

kde symbol <.>znamená strednú hodnotu. Vzhľadom na vzťah je účelné zaviesť štandardnú odchýlku merania vzťahom

(9)

pre ktorú platí vzhľadom na vzťah (6) a (7) .

Ak použijeme najpravdepodobnejšiu hodnotu Xn ako výsledok merania, zaujíma nás, ako presne táto hodnota vystihuje správnu hodnotu X. Keďže Xn je tiež náhodnou veličinou, zaujíma nás jej disperzia.
Možno dokázať, že ak pre meranie veličiny x platí normálne rozdelenie s disperziou , potom pre hodnoty Xn platí tiež normálne rozdelenie, ale s n-krát menšou disperziou, takže stredná kvadratická chyba aritmetického priemeru je určená vzťahom:

(10)

Aritmetický priemer tak oveľa lepšie vystihuje správnu hodnotu ako jednotlivé merania.
Interval spoľahlivosti (resp. náhodnú chybu merania) určíme pre požadovanú spoľahlivosť P podľa vzťahu (4) s tým, že namiesto použijeme .
Pri reálnom meraní na laboratórnych cvičeniach však nemôžeme získať veľké množstvo opakovaných súborov (najmä kvôli časovej náročnosti). Uspokojíme sa teda s jedným súborom.
Z toho dôvodu nemôžeme určiť stedné hodnoty (7) a (8). Vo vzťahu (10) použijeme namiesto strednej hodnoty štandardnej odchýlky hodnotu získanú z jediného súboru, takže

(11)

s tým, že veličinu stanovujeme s obmedzenou presnosťou, ktorá súvisí s disperziou štandardnej odchýlky

(12)

Relatívna presnosť hodnoty stanovenej podľa (11) odpovedá podľa (12) hodnote , čo napríklad pre n = 10 znamená 24%, pre n = 50 10%.
Z toho vyplýva, že pri bežných počtoch opakovaných meraní n < 100 má zmysel udávať chybu iba na jedno desatinné miesto.

Nakoľko stanovená podľa (11) je priaznivejšia (menšia) ako správna hodnota podľa (10), musíme túto skutočnosť rešpektovať pri určovaní intervalu spoľahlivosti (resp. náhodnej chyby merania).

Pre danú mieru spoľahlivosti P a pre daný počet meraní n určíme pološírku
intervalu spoľahlivosti zo vzťahu

(13)

kde tp;n sa nazýva Studentov koeficient. Okrem normálneho rozdelenia rešpektuje aj konečný počet meraní.