Teória

Výpočet

Chyby merania - Teória



Štatistické spracovanie nameraných výsledkov

Nech x je fyzikálna veličina a n nech je počet jej meraní. S týchto hodnôt zostrojíme histogram (Obr.). Ten znázorňuje početnosť získaných výsledkov. Os x predstavuje hodnoty meranej veličiny x. Tú rozdelíme na malé intervaly a nad každým intervalom zostrojíme obdĺžnik o výške rovnej relatívnej početnosti výskytu výsledkov z daného intervalu. Je zrejmé, že skutočná hodnota meranej veličiny sa nachádza v blízkosti maxima histogramu, pričom pravdepodobnosť výskytu značne odlišných výsledkov rýchle klesá.

Obr. 1: Histogram zostavený z nameraných hodnôt veličniy x


Pri zväčšovaní počtu meraní n sa spresňuje informácia o hodnote meranej veličiny.
Ak "zalimitíme" , dostaneme namiesto histogramu spojitú krivku, nazývame ju hustota pravdepodobnosti rozdelenia f(x). Integráciou funkcie f(x) v rozsahu od x1 po x2 dostávame pravdepodobnosť toho, že meraná veličina bude ležať v intervale <x1; x2>.
Väčšina merania odpovedá Gaussovemu normálnemu rozdeleniu pravdepodobnosti.

 Pre merania vtedy platí:

  • výsledky merania môžu nadobúdať spojité spektrum hodnôt
  • pri vysokom počte meraní majú chyby opačného znamienka rovnakú pravdepodobnosť
  • s rastom chyby klesá pravdepodobnosť jej výskytu

Funkcia hustoty pravdepodobnosti normálneho rozdelenia má tvar:

(1)

kde

(2)


je stredná hodnota veličiny x a reprezentuje (správnu) hodnotu veličiny X a

(3)


je disperzia (rozptyl) meranej veličiny a súvisí so šírkou rozdeľovacej funkcie. Veličina je
stredná kvadratická chyba a udáva, ako sú rozptýlené merané hodnoty veličiny okolo strednej
hodnoty . Ak vymedzíme interval , potom veličina P(Dx) vyjadruje
pravdepodobnosť, že náhodná veličina padne do tohoto intervalu. Veličina P sa nazýva miera
spoľahlivosti (udáva sa ako číslo z intervalu <0; 1> alebo v %), príslušný interval sa nazýva
interval spoľahlivosti a hodnota Dx predstavuje náhodnú chybu merania pre danú mieru
spoľahlivosti.
Táto chyba súvisí s vzťahom:


kde koeficient tp sa určí integráciou funkcie (1). Keďže výpočet tohoto integrálu je pomerne
zložitý a zdĺhavý, pre praktické prípady možno nájsť hodnoty koeficientov v tabuľkách.