Seminár z fyziky 

Aj tú najvyššiu vežu začali stavať od základov!

(čínske príslovie)

Obsah:

7.  Zákony zachovania hybnosti a mechanickej energie

            Sústava hmotných bodov (alebo vo všeobecnosti telies) je izolovaná, ak na telesá v tejto sústave nepôsobia vonkajšie sily (t.j. sily, ktorých pôvod je mimo sústavy), prípadne sa tieto sily vzájomne kompenzujú. Zmeny rýchlostí telies v takejto sústave nastávajú iba vzájomným pôsobením telies v sústave.

            Zákon zachovania hybnosti: Celková hybnosť izolovanej sústavy sa nemení. Pod celkovou hybnosťou rozumieme vektorový súčet hybností všetkých telies sústavy. V izolovanej sústave pozostávajúcej z dvoch telies preto platí

p₀₁ + p₀₂ = p₁ + p₂

kde  p₀₁ ,  p₀₂  je hybnosť prvého resp. druhého telesa pred ich vzájomnou interakciou (napr. zrážkou),  p₁ , p₂  hybnosť týchto telies po ich interakcii.

            Zákon zachovania mechanickej energie: Ak medzi telesami sústavy nedochádza k treniu, celková mechanická energia (súčet kinetickej a potenciálnej energie) izolovanej sústavy sa nemení. V takom prípade preto platí

E_k1 + E_p1 = E_k2 + E_p2

kde   E_k1  ,  E_p1  je kinetická resp. potenciálna energia v ľubovoľnom čase (1),  E_k2  ,  E_p2 v ľubovoľnom čase (2).

            Zákon zachovania mechanickej energie platí napr. v prípade pružných zrážok, v prípade pohybu v tiažovom poli bez trenia (kde sa dá ukázať, že zmena kinetickej energie Zeme v sústave Zem - teleso je vždy zanedbateľná) a podobne. Nemožno ho použiť napr. v prípade nepružných zrážok, pri ktorých dochádza k plastickej deformácii telies a vnútornému treniu, v prípade pohybu v tiažovom poli s trením a podobne, pretože v týchto prípadoch sa v dôsledku trenia mechanická energia (celá alebo jej časť) mení na energiu tepelnú (vnútornú).

 Úlohy

            7.1.  Určte rýchlosť, ktorú získa voľne uložená puška pri spätnom náraze, ak z nej vyletí strela rýchlosťou  v = 700 m/s  Hmotnosť strely je  m = 20 g , hmotnosť pušky  M = 4 kg.

[  v´ = m v / M = 3,5 m/s  ]  

            7.2.  Do vozíka s hmotnosťou  M = 200 kg , pohybujúceho sa po rovine rýchlosťou v = 5 m/s , skočí zhora zvislo človek s hmotnosťou  m = 70 kg.  Aká bude výsledná vodorovná rýchlosť vozíka?

[  v´ = M v /(M + m) = 3,70 m  ]  

            7.3.  V člne s hmotnosťou  m₁ = 100 kg  je človek s hmotnosťou  m₂ = 70 kg . Akú rýchlosť získa pôvodne nehybný čln, ak z neho človek vyhodí vodorovne kameň s hmotnosťou  m = 300 g  rýchlosťou  v = 20 m/s?

[  v´ = m v /(m₁ +m₂) = 3,5 mm/s  ]  

            7.4.  Strela s hmotnosťou  m = 20 g , letiaca rýchlosťou  v = 800 m/s , uviazne v debničke s pieskom, ktorá má hmotnosť  M = 20 kg  a leží na vodorovnej podložke, po ktorej sa môže s trením pohybovať. Koeficient trenia medzi debničkou a podložkou je  m = 0,2. a) Akú začiatočnú rýchlosť získa debnička po náraze?   b) Za aký čas a v akej vzdialenosti sa debnička v dôsledku trenia zastaví?

[  a)  v´ = m v/(M+m) = 0,799 m/s   ; b)  t = v´/(m g) = 0,407 s ;   s = v´²/(2m g) = 163 mm  ]  

            7.5.  Skúmame zrážku dvoch rovnakých guľôčok, pohybujúcich sa po tej istej orientovanej vodorovnej priamke rýchlosťami, ktorých algebraické hodnoty vzhľadom na kladnú orientáciu priamky sú   v₁ = 1 m/s  ,   v₂ = -2 m/s . Otáčavý pohyb guľôčok možno zanedbať. Určte veľkosť a orientáciu rýchlostí guľôčok po zrážke, ak  a) zrážka je pružná (guľôčky sú napr. z ocele) ,  b) zrážka je nepružná (guľôčky sú napr. z plastelíny)  !

[ a)  v´₁ = v₂ = -2 m/s  ;   v´₂ = v₁ = 1 m/s    ; b) v = (v₁ + v₂) / 2 = -0,5 m/s  ]  

            7.6.  Vlaková súprava, pozostávajúca zo štyroch rovnakých spojených vagónov, pri pohybe voľne po trati rýchlosťou  v = 4 km/h  pružne narazí do ďalšieho rovnakého nepohyblivého vagóna. Aké budú rýchlosti súpravy a vagóna po zrážke?

[  v´₁ = 0,6 v₁ = 2,4 km/h   ,   v´₂ = 1,6 v₁ = 6,4 km/h  ]  

            7.7. - 7.12.  Riešte príklady č. 1.9. , 1.10. , 1.15. , 1.16. , 1.24.  z kapitoly č.1  s využitím zákona zachovania mechanickej energie v tiažovom poli! Posúďte, ktorý spôsob riešenia je jednoduchší!

            7.13.  Vozík sa nachádza na naklonenej rovine, ktorá zviera s vodorovnou rovinou uhol   a = 15^o . Akú rýchlosť získa vozík na dráhe dlhej  s = 100 m , ak ho pustíme s nulovou začiatočnou rýchlosťou? (Trenie a kinetickú energiu otáčavého pohybu kolies možno pri pohybe zanedbať.)

[     ]  

            7.14.  Kyvadlo, pozostávajúce z olovenej guľôčky na niti dlhej  l = 0,5 m , vychýlime o uhol  a = 45^o z rovnovážnej polohy a voľne pustíme. Akou rýchlosťou preletí guľôčka rovnovážnou polohou?

[    ]  

            7.15.  Kovová guľôčka je zavesená na niti dlhej  l = 1 m . V rovnovážnej polohe jej udelíme začiatočnú rýchlosť  v₀ = 0,5 m/s .  a) Aká bude maximálna výchylka takéhoto kyvadla?  b) Akou rýchlosťou sa bude guľôčka pohybovať v momente, keď výchylka kyvadla bude polovičná v porovnaní s maximálnou výchylkou?

[  a)   ;   a_m = 9,16 ^o   ; b)    ]  

            7.16.  Balistické kyvadlo je zariadenie na meranie rýchlosti striel. Možno ho skonštruovať napríklad tak, že vrece alebo debničku s pieskom zavesíme na dve rovnako dlhé rovnobežné závesné nite, čím sa dosiahne, že počas pohybu kyvadla sa nemení orientácia zaveseného telesa  v priestore a netreba preto brať do úvahy otáčavý pohyb okolo jeho vlastnej osi. Určte rýchlosť strely s hmotnosťou  m = 20 g , ktorá po uviaznutí v balistickom kyvadle s hmotnosťou M = 20 kg s dĺžkou závesu  l = 1 m  vychýlila kyvadlo na maximálnu výchylku  a = 15 ^o!

[    ]  

            7.17.  Homogénny valec sa bez trenia valí po naklonenej tovine, ktorá zviera s vodorovnou rovinou uhol  a = 30^o. Akou rýchlosťou sa bude pohybovať os valca po prejdení dráhy s = 10 m , ak valec pustíme s nulovou začiatočnou rýchlosťou? (Moment zotrvačnosti valca vzhľadom na os valca je  J = m r²/2 , kde  m  je hmotnosť  a  r  polomer valca.)

[    ]  

            7.18.  Závažie s hmotnosťou  m = 2 kg  je zavesené na niti, ktorá je upevnená a omotaná okolo vodorovného dreveného hriadeľa s polomerom  r = 0,1 m  a hmotnosťou  M = 50 kg . Závažie necháme s nulovou začiatočnou rýchlosťou z výšky  h = 2 m  padnúť na zem. Akou frekvenciou sa bude otáčať hriadeľ v momente dopadu závažia? (Pre moment zotrvačnosti hriadeľa platí rovnaký vzťah ako v úlohe č. 7.17.)

[    ]  

            7.19.  Dve závažia s hmotnosťami  m₁ = 1 kg  a  m₂ = 2 kg  sú spojené niťou, ktorá je prevesená cez kladku. Sústavu držíme v pokoji v takej polohe, že ťažšie závažie je vo výške h = 2 m  nad zemou. Akou rýchlosťou dopadne ťažšie závažie na zem, keď sústavu uvoľníme? Riešte dva prípady:  a) moment zotrvačnosti kladky zanedbáme,  b) moment zotrvačnosti kladky je  J = 0,01 kg m² , polomer kladky je  r = 0,1 m!

[  a)       ,    b)   ]  

8. Mechanika tekutín

            Štúdium reálnych kvapalín je zložitý problém, preto zavádzame pojem ideálnej kvapaliny. Kvapalinu voláme ideálnou vtedy, keď je nestlačiteľná a keď v nej nie je vnútorné trenie (modul pružnosti v šmyku G = 0). Riešením problémov kvapalín v pokoji sa zaoberá hydrostatika a problémy ich pohybu rieši hydrodynamika.

            Kvapalina, ktorá sa nepohybuje, účinkuje na ľubovoľnú plochu v kvapaline len kolmou silou. Kolmá sila pôsobiaca na jednotkovú plochu sa nazýva tlak

Základná rovnica hydrostatiky má tvar

p + rj = konšt.

kde je potenciál silového poľa, v ktorom sa kvapalina nachádza, a je hustota kvapaliny. Predchádzajúcu ovnicu môžeme slovne interpretovať takto:  V stave pokoja v nestlačiteľnej kvapaline je súčet tlaku a potenciálnej energie jej objemovej jednotky všade rovnaký.

            Keď na povrch kvapaliny pôsobí väčší tlak a kvapalina nevypĺňa príliš rozsiahly priestor, môžeme v predchádzajúcej rovnici člen rj zanedbať, čím sa rovnica zjednoduší na tvar

p = konšt.

Táto rovnica je matematickým vyjadrením Pascalovho zákona, ktorý hovorí, že tlak  v kvapaline je všade rovnaký a šíri sa všetkými smermi rovnako. Hydrostatický tlak v hĺbke h pod povrchom kvapaliny je daný vzťahom

p = pA + rgh

kde pA je vonkajší atmosferický tlak.

            Na teleso ponorené do tekutiny (kvapalina, plyn) pôsobí vztlaková sila FA, ktorá sa rovná tiaži tekutiny vytlačenej ponoreným objemom V telesa. Je to Archimedov zákon, ktorý má tvar

FA = rgV

            Pri ustálenom prúdení ideálnej kvapaliny v trubici prejde každým prierezom trubice za jednotku času rovnaké množstvo kvapaliny. Táto skutočnosť je vyjadrená rovnicou kontinuity, ktorá má tvar

v₁ S₁ = v₂ S₂

kde v₁, v₂ sú rýchlosti prúdenia kvapaliny v prierezoch s plošnými obsahmi S₁, S₂.

            Základnou rovnicou hydromechaniky, ak ide o nevírové prúdenie ideálnej kvapaliny, je Bernoulliho rovnica

ktorej slovná interpretácia môže byť: Pri ustálenom nevírovom prúdení ideálnej kvapaliny v  trubici je súčet kinetickej a potenciálnej energie objemovej jednotky kvapaliny a tlaku v každom mieste trubice rovnaký.

            Pomocou Bernoulliho rovnice môžeme odvodiť Torricelliho vzťah pre rýchlosť kvapaliny vytekajúcej malým otvorom z nádoby vplyvom vlastnej tiaže

kde h je hĺbka otvoru pod hladinou kvapaliny.

            V reálnej kvapaline existuje vnútorné trenie. Ak sa v reálnej kvapaline guľôčka polomeru r pohybuje rýchlosťou v, potom sila, ktorou kvapalina brzdí pohyb guľôčky, je podľa Stokesovho zákona daná vzťahom

FS = 6 p h r v

kde je koeficient dynamickej viskozity. Tento vzťah platí len za podmienok laminárneho obtekania guľôčky (malé rýchlosti).

Úlohy

            8.1.  Tiaž kameňa vo vzduchu je G = 150 N. Aká bude tiaž kameňa vo vode, keď hustota kameňa je = 3.10³ kg.m^-3?

[ ]  

            8.2.  Teleso má na vzduchu tiaž G = 250 N a vo vode G1 = 100 N. Vypočítajte objem a hustotu telesa!

[ ; ]  

            8.3.  Aká veľká sila stačí na zdvihnutie kameňa s hmotnosťou m = 500 kg vo vode, keď jeho hustota je = 2500 kg.m^-3?

            8.4.  Na voľnej vodnej hladine pláva korková zátka. Aká časť objemu je nad vodou, keď hustota vody je r1 = 1000 kg.m^-3 a korku r2 = 300 kg.m^-3?

[ ]  

            8.5.  Ľadovec plávajúci v mori vyčnieva nad hladinu. Určte, aká časť objemu ľadovca je pod vodou, keď hustota ľadu je r1 = 900 kg.m^-3 a hustota vody r2 = 1000 kg.m^-3!

[ ]  

            8.6.  Zlatá kráľovská koruna váži vo vzduchu G = 9,81 N a vo vode G1 = 9,22 N. Určte, či je z čistého zlata, keď hustota zlata je  = 19,3 . 10³ kg.m^-3 a vody  1 = 1000 kg.m^-3!

[Nie je, ]  

            8.7.  Väčší piest hydraulického lisu má priemer d1 = 300 mm a má vyvinúť silu F1 = 10⁵ N. Akou silou musíme pôsobiť na menší piest, keď jeho priemer je d₂ = 12 mm?

            8.8.  Do spojených nádob nalejeme olej a vodu. Výška stĺpca vody meraná od spoločného rozhrania je h₁ = 180 mm, výška stĺpca oleja h₂ = 200 mm. Vypočítajte hustotu oleja, keď hustota vody r1 = 1000 kg.m^-3!

[ ]  

            8.9.  Hliníková guľa má tiaž vo vzduchu G₁ = 5,4 N a vo vode G₂ = 2,3 N. Vypočítajte objem vzduchovej bubliny v guli, keď hustota hliníka r Al = 2,7 . 10³ kg.m^-3 a vody  rH2O = 1000 kg.m^-3!

            8.10.  Na prízemí domu je vo vodovode tlak p₀ = 5.10⁵ Pa. Akou rýchlosťou vyteká voda z kohútika na prízemí a na štvrtom poschodí domu vo výške h = 16 m od prízemia?

[ ; ]    

            8.11.  Prierez vodorovného potrubia sa zmenšuje z hodnoty S₁ = 4000 mm² na hodnotu    S₂ = 2000 mm². Rýchlosť vody v širšej časti je v₁ = 2 m.s^-1 a tlak p₁ = 7,5 kPa. Vypočítajte tlak vody a rýchlosť vody v zúženej časti potrubia!

[ ; ]  

            8.12.  Nádoba je uzavretá piestom s prierezom S = 800 mm2. Akou rýchlosťou strieka voda otvorom v stene nádoby, ak pôsobíme na piest silou F = 10 N ? Hustota vody = 10³ kg.m^-3 a tlak spôsobený tiažou vody je zanedbateľný.

            8.13. Vo vodorovnom potrubí prierezu S1 = 5 cm² je zúžené miesto prierezu S₂ = 300 mm². V zúženom priereze je tlak o p = 1,2.10⁴ Pa menší ako v širšom mieste. Vypočítajte rýchlosť vody v zúženom mieste!

            8.14.  Do nádoby priteká množstvo vody Q = 2.10^-4 m³s^-1. Aký musí byť priemer otvoru na dne nádoby, aby sa hladina vody udržala vo výške h = 100 mm nad dnom nádoby?

            8.15  Oceľová guľôčka polomeru r = 1 mm a hustoty r1= 7,7.10³ g.m^-3 padá v oleji hustoty r2 = 900 kg.m^-3 s koeficientom viskozity h = 0,22 Pa.s. Vypočítajte akou rýchlosťou padá guľôčka!

            8.16.  Akou rýchlosťou vyteká voda zo zásobníka, keď z otvoru vo výške h₁ = 200 mm nad vodorovnou rovinou strieka do vzdialenosti  d = 200 mm na túto vodorovnú rovinu?

            8.17.  Vypočítajte konečnú rýchlosť pádu dažďovej kvapky (guľky polomeru r = 1 mm) vo vzduchu, keď koeficient dynamickej viskozity vzduchu h = 1,8.10^-5 Pa.s! Hustotu vzduchu voči hustote vody zanedbajte!

            8.18.  Piest automobilového hydraulického zdviháka má priemer d = 150 mm. Aký veľký by mal byť tlak oleja, aby bol zdvihnutý automobil hmotnosti m = 1200 kg?

            8.19.  Aký tlak vyvíja striekacia lakovacia pištoľ, keď rýchlosť striekaného kvapalného laku je v = 25 m.s^-1 a hustota laku je = 800 kg.m^-3?

[ ]   

            8.20. Voda vyteká z otvoreného vodovodného kohútika rýchlosťou v = 34 m.s^-1! Vypočítajte akou silou pôsobí voda na piest vodovodného kohútika priemeru d = 15 mm, keď je kohútik zavretý!

 9. Kmity a vlnenie

            Kmitavý pohyb je periodický priamočiary alebo krivočiary pohyb. Jeden cyklus pohybu sa nazýva kmit. Trvanie jedného kmitu je perióda  T ,  frekvencia  f  je počet kmitov za jednotku času. Platí

Harmonické kmitanie je taký pohyb, pri ktorom pre okamžitú výchylku oscilátora platí

alebo

kde  t  je čas,  y_m je amplitúda pohybu (maximálna výchylka), w t + j  je fáza, j  je fázová konštanta (počiatočná fáza) a  w je uhlová (kruhová) frekvencia. Platí

            Harmonické kmitanie vykonáva napríklad teleso s hmotnosťou  m , zavesené na pružine, kde na neho v každom okamžiku pôsobí návratná sila, orientovaná k rovnovážnej polohe, s veľkosťou úmernou výchylke z rovnovážnej polohy

F = k y

Konštanta  k  sa nazýva tuhosť pružiny. Uhlová frekvencia takého oscilátora je

Jeho okamžitá potenciálna (polohová) energia vzhľadom na rovnovážnu polohu (v prípade zvislého pohybu včítane tiažovej potenciálnej energie) je daná vzťahom (8), kap.6 .                          

                Matematické kyvadlo je hmotný bod v tiažovom poli na nehmotnom závese. Jeho periodický pohyb možno tým lepšie považovať za harmonický, čím je amplitúda pohybu (maximálna uhlová výchylka) menšia. Uhlová frekvencia matematického kyvadla je 

kde   l  je dĺžka závesu a  g  je tiažové zrýchlenie.

            Postupné vlnenie je šírenie kmitavých rozruchov v spojitom prostredí. Podľa smeru kmitania vzhľadom na smer šírenia vlnenia môže byť vlnenie priečne alebo pozdĺžne. Okamžitú výchylku  y  bodu s polohou  x  v čase  t  v prípade harmonického vlnenia postupujúceho  v kladnom smere  x   vyjadruje funkcia

alebo

kde  T  je perióda (časová perióda) a  l  vlnová dĺžka (priestorová perióda) vlnenia. Pre rýchlosť šírenia vlnenia (fázovú rýchlosť) platí

            Pri interferencii (skladaní) dvoch postupných harmonických vlnení vychádzajúcich z dvoch koherentných (s rovnakou frekvenciou kmitajúcich) zdrojov treba rozlišovať dva prípady:

            a)  Ak sa interferujúce vlnenia šíria rovnakým smerom, výsledkom je vlnenie s rovnakou periódou a vlnovou dĺžkou, šíriace sa rovnakým smerom. Výsledná amplitúda je pri zdrojoch kmitajúcich vo fáze maximálna (rovná súčtu amplitúd interferujúcich vlnení), ak dráhový rozdiel medzi interferujúcimi vlneniami sa rovná párnemu počtu polvĺn

kde  k = 0, 1, 2, ...  .Výsledná amplitúda je minimálna (rovná rozdielu amplitúd interferujúcich vlnení), ak dráhový rozdiel sa rovná nepárnemu počtu polvĺn

kde  k = 0, 1, 2, ...  .

            b)  Ak sa interferujúce vlnenia šíria navzájom v protismere, vzniká stojaté vlnenie. Pre stojaté vlnenie platí

kde  Dl  je vzdialenosť dvoch susedných uzlov alebo kmitní. Pri rozkmitaní pružnej struny, tyče alebo na oboch koncoch uzavretého vzduchového stĺpca s dĺžkou  l  vzniká stojaté vlnenie (chvenie) s vlnovými dĺžkami  l, pre ktoré platí

kde  k = 1, 2, 3, ...  . Najnižšia frekvencia, zodpovedajúca hodnote l pre  k = 1, sa nazýva základná frekvencia. Ďalšie frekvencie (vyššie harmonické frekvencie) sú jej celočíselnými násobkami.

            Zákon odrazu: Uhol odrazu vlnenia sa rovná uhlu dopadu. Odrazený lúč leží v rovine dopadu.

            Zákon lomu: Na rozhraní dvoch prostredí platí

kde a  je uhol dopadu, b  uhol lomu,  v₁  rýchlosť vlnenia v prvom prostredí,  v₂  rýchlosť vlnenia v druhom prostredí a  n₁₂  relatívny index lomu. Lomený lúč zostáva v rovine dopadu.

            Uvedené vzťahy platia i pre elektromagnetické vlnenie, t.j. i pre svetlo.

Úlohy

            9.1.  Bod koná kmitavý harmonický pohyb, ktorý chceme popísať funkciou  y = y_msin(v t + j). Vieme, že v čase  t = 0  bola výchylka bodu maximálna. Akú hodnotu má fázová konštanta?

[j = p /2 +2kp   ,  k = 0, 1, 2, ... ] 

            9.2.  Bod koná harmonický pohyb s frekvenciou f = 5 Hz  a amplitúdou  y_m = 100 mm. V čase  t = 0  je výchylka nulová a začína narastať. Určte výchylku bodu v čase  a)  t = 25 ms ,  b)  t = 50 ms!

[ y = y_m sin 2 pft ; a)  y = 1,37 mm;   b)  y = 2,74 mm ]  

            9.3.  Na vodorovnú pružinu, ktorej tuhosť je k = 20 N/m , upevníme teleso s hmotnosťou m = 200 g. Teleso sa môže bez trenia pohybovať po vodorovnej priamke v smere pružiny. Určte  frekvenciu pohybu telesa, ak ho vychýlime z rovnovážnej polohy!

            9.4.  Na pružinu zavesíme závažie s hmotnosťou  m = 100 g, v dôsledku čoho sa pružina predĺži o  y₀ = 200 mm. Určte periódu vlastných kmitov tejto sústavy!

            9.5.  Máme dve rovnaké pružiny a jedno závažie. Ak závažie zavesíme na jednu pružinu, perióda vlastných kmitov takéhoto oscilátora je  T.  Určte periódu vlastných kmitov oscilátora, ktorý vznikne zavesením závažia na obe pružiny súčasne, ak pružiny sú zapojené  a) sériovo, t.j. jedna na konci druhej,  b) paralelne.

[ a)  Ts =  T. 2^1/2   ;  b)  Tp =  T/ 2^1/2  ]    

            9.6.  Závažie s hmotnosťou  m = 0,4 kg , upevnené na vodorovnej pružine, ktorá má tuhosť  k = 10 N/m , sa môže bez trenia kĺzať po vodorovnej podložke. Závažie vychýlime z rovnovážnej polohy do vzdialenosti  ym = 200 mm  a s nulovou začiatočnou rýchlosťou pustíme.  Určte  a) periódu pohybu závažia,  b) rýchlosť, ktorou závažie prechádza rovnovážnou polohou! (V bode  (b) využite zákon zachovania mechanickej energie!)

[ a)  T =  = 1,26 s  ;    b)   v =  = 1 m/s ]

            9.7. Vo vnútri Zeme je tiažová sila úmerná vzdialenosti od stredu Zeme. Akú periódu kmitania by malo teleso, ktoré by voľne kmitalo v rovnej rúre prechádzajúcej cez stred Zeme, ak by sme ho z povrchu Zeme voľne pustili do rúry? Akou rýchlosťou by teleso preletelo cez stred Zeme?  (Polomer Zeme je  R = 6378 km.)

[  T =  = 84 min 26 s  ;    v =  = 7,91 km/s ]

            9.8.  Máme k dispozícii veľmi dlhú pružinu, z ktorej môžeme nastrihať pružiny rôznej dĺžky, a jedno závažie s hmotnosťou  m. Pokusom zistíme, že na pružine s dĺžkou   l0 = 0,4 m   kmitá závažie s určitou periódou  T0. Akú dlhú pružinu potrebujeme, aby perióda  T  bola   a) dvojnásobná,   b) polovičná?  (Uvážte, že pre predĺženie pružiny platí Hookov zákon!)

[  l = (T/T0)².l0 ;   a)  l = 4l₀ = 1,6 m   ;   b)  l = l₀/4 = 0,1 m ]

            9.9.  Na ľahkú niť dlhú  l = 1m  zavesíme olovenú guľôčku. Určte periódu takéhoto kyvadla 

            a) na povrchu Zeme,

            b) na povrchu Mesiaca, kde tiažové zrýchlenie je  gm = g/6  ,

            c) v orbitálnej stanici, ktorá krúži okolo Zeme a neotáča sa pritom okolo svojej osi,

            d) v orbitálnej stanici s polomerom r = 2 m, ktorá krúži okolo Zeme a otáča sa pritom okolo svojej osi s periódou   T_st = 10 s , pričom kyvadlo je zavesené tak, že guľôčka sa nachádza na obvode stanice,

            e) v odtrhnutom, voľne padajúcom výťahu,

            f) na povrchu Zeme, keď olovenú guľôčku nahradíme ľahšou oceľovou guľôčkou!

  [ a) T_z = =  = 2,01 s  ;  b) Tm = 6^1/2 . T_z =  4,91 s ;  c) T ide do nekonečna ;  d) ;   

e) T ide do nekonečna ;  f)  ako v prípade (a) ] 

            9.10.  Akú dĺžku musí mať záves matematického kyvadla, aby jeden jeho kyv (polovica periódy) trval  T´ = 1 s?

[  l = (T ´/ p)².g = 0,994 m ]

            9.11.  Zdroj vlnenia kmitá s frekvenciou  f = 5 Hz  a s amplitúdou   ym = 40 mm. V čase t = 0  je výchylka zdroja nulová a začína narastať. Vlnová dĺžka vlnenia, ktoré sa od zdroja šíri po šnúre, je  = 0,4 m. Určte, akú výchylku bude mať bod vzdialený od zdroja  x = 2 m  v čase t = 10 s!

[  y = ym sin 2 p( f t  - x/ l)  =  0 ] 

            9.12.  Určte vo vzduchu vlnovú dĺžku zvuku zo spodnej a hornej hranice počuteľnosti, t.j. zvuku s frekvenciami  16 Hz  a  16 kHz! (Rýchlosť zvuku vo vzduchu je  v = 340 m/s .)

  [ l= c / f   , l 1 = 21 m   , l 2 = 21 mm  ]

            9.13.  Rozhlasová stanica Slobodná Európa vysiela na rozsahu stredných vĺn, na frekvencii  1287 kHz . Určte vlnovú dĺžku elektromagnetického vlnenia, ktoré sa šíri z vysielača!

[  l = c / f = 233 m  ]

            9.14.  Vlnenie sa šíri po priamke z dvoch zdrojov, ktoré ležia na tejto priamke vo vzájomnej vzdialenosti  x = 1 m  a kmitajú vo fáze. Rýchlosť šírenia vlnenia je  v = 5 m/s . Určte najnižšiu frekvenciu zdrojov, pri ktorej sa vlnenia v oblasti, kde sa šíria rovnakým smerom,  a) zrušia  ,  b) sčítajú s maximálnou amplitúdou!

[  a)  f = v/(2Dx) = 2,5 Hz  ;   b)  f = v/Dx = 5 Hz  ] 

            9.15.  Z dvoch zdrojov kmitajúcich s rovnakou amplitúdou a s rovnakou frekvenciou  f = 1 kHz  sa proti sebe šíria vo vzduchu zvukové vlny. Určte vzdialenosť uzlov výsledného stojatého vlnenia! (Rýchlosť zvuku vo vzduchu je  v = 340 m/s.)

[  Dl = v/(2f) = 0,17 m  ]  

            9.16.  Základom televíznej antény je dipól (elektricky vodivý prút), v ktorom, ak je umiestnený v dopadajúcom elektromagnetickom vlnení, vzniká stojaté vlnenie elektrického napätia a prúdu, podobne ako mechanické stojaté vlnenie vo vzduchovom stĺpci alebo pevnej tyči. Vzniknuté stojaté vlnenie elektrického prúdu v dipóle má uzly na koncoch dipólu. Vlnenie sa pozdĺž dipólu šíri rýchlosťou svetla. Aká dĺžka dipólu (t.j. rozpätie antény) je potrebná na príjem  2. televízneho kanála podľa normy OIRT (v Bratislave na ňom vysiela STV 1) , ktorého stredná frekvencia je  f = 62 MHz?

[  l = c / (2 f) = 2,42 m  ]  

            9.17.  Akou rýchlosťou sa šíria vlny po rozkmitanej strune, ktorá pri dĺžke  0,6 m  vydáva tón  a¹  s frekvenciou 440 Hz?

[  v = 2 l f = 528 m/s  ]  

            9.18.  Slnečné lúče dopadajú na hladinu vody pod uhlom  a´ = 45^o vzhľadom na hladinu. Pod akým uhlom dopadajú na dno bazéna? (Relatívny index lomu vody vzhľadom na vzduch je    n = 1,33.)

[   ,     b´ = 58^o  ]  

            9.19.  Pod akým uhlom vzhľadom na hladinu vody vidí ryba, dívajúca sa z vody, rybára sediaceho na vzdialenom brehu tesne pri hladine? (Relatívny index vody vzhľadom na vzduch je   n = 1,33.)

[     ,    b´ = 41,2 ^o   ]   

Fyzika pre študentov ŽU  |  Obsah  |  Fyzika v príkladoch