Seminár z fyziky 

Aj tú najvyššiu vežu začali stavať od základov!

(čínske príslovie)

Obsah:  

4.  Mechanika tuhého telesa  

             Otáčavý účinok sily na teleso vyjadruje vektorová veličina moment sily. Veľkosť momentu sily vzhľadom na os otáčania, ktorá je kolmá na smer sily, určíme ako súčin veľkosti sily a ramena sily vzhľadom na túto os

M =  r  x F

kde rameno sily r je kolmá vzdialenosť priamky vektora sily od osi otáčania. Jednotkou momentu sily je N.m.

            Keď na tuhé teleso, ktoré sa otáča okolo nehybnej osi, pôsobí súčasne viac síl, výsledný moment je daný vektorovým súčtom jednotlivých momentov

M = M1 + M2 + M3 +  ...

             Momentová veta: Otáčavý účinok síl pôsobiacich na tuhé teleso, ktoré sa otáča okolo nehybnej osi sa ruší, ak vektorový súčet momentov všetkých síl vzhľadom na os je nulový vektor

M = M1 + M2 + M3 +  ...  = 0

             Rovnovážna poloha tuhého telesa: Tuhé teleso otáčavé okolo osi je v rovnovážnej polohe, ak vektorové súčty všetkých síl a všetkých momentov síl, ktoré na teleso pôsobia, sú nulové vektory a teleso je v pokoji

å F_i = 0 ;           å M_i = 0

            Kinetickú energiu telesa, ktoré koná rovnomerný otáčavý pohyb okolo nehybnej osi, vypočítame podľa vzťahu

kde J je moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na os otáčania a je uhlová rýchlosť.  Momenty zotrvačnosti niektorých telies vypočítame nasledovne (m je vo všetkých vzťahoch hmotnosť telesa): hmotný bod J = m r² (r je vzdialenosť hmotného bodu od osi otáčania), valec s osou otáčania v osi valca J = 1/2 m r² (r je polomer podstavy valca),  tyč s osou otáčania v strede   J = 1/12 m l², tyč s osou otáčania na konci  J = 1/3 m l²  (l je dĺžka tyče).

            Deformácia tuhého telesa  je zmena tvaru tuhého telesa spôsobená účinkom vonkajších síl. V ľubovoľnom priečnom reze vzniká pri namáhaní ťahom alebo tlakom normálové napätie

kde F_p je veľkosť sily, ktorá pôsobí kolmo na plochu rezu S. Jednotkou normálového napätia je pascal, [s_n] = Pa = N.m^-2. Pri deformácii ťahom sa teleso (tyč, drôt a pod.) predĺži z pôvodnej dĺžky l₀  na  l, veličina l - l₀ = l sa nazýva predĺženie. V praxi je výhodnejšie používať relatívne predĺženie e, ktoré je definované vzťahom

Hookov zákon: normálové napätie je priamo úmerné relatívnemu predĺženiu  

kde konštanta úmernosti E je modul pružnosti v ťahu a je pre rôzne materiály rôzna.

Úlohy

            4.1. Sila 4 N je potrebná na otvorenie dverí širokých 1 m, ak ňou pôsobíme na najvzdialenejšom konci od pántov. Akou silou musíme tlačiť na dvere 0,1 m od pántov, aby sme ich otvorili?

[40 N]   

            4.2. Rameno pedála na bicykli je dlhé 165 mm. Ak človek hmotnosti 60 kg zatlačí svojou tiažou na pedál, aký moment sily vyvinie, keď rameno je

            a) v horizontálnej polohe,

            b) je odklonené o 15^o uhol od horizontálnej polohy smerom nadol?

[97,1 N.m    93,8 N.m ]   

            4.3. Na nosník pôsobia v bodoch A a B dve kolmé sily 200 N  a 300 N  vo vzdialenosti 4 m od seba. Určte veľkosť a pôsobisko výslednice, ak hmotnosť nosníka zanedbáme a sily sú orientované

            a) súhlasne,

            b) nesúhlasne!

[a) 500 N;   2,4 m od A    b) 100 N;  12 m od A na predĺženej spojnici AB ]   

            4.4. Tyč dĺžky 6 m je na koncoch podopretá. Aké sily pôsobia na podpery, ak vo vzdialenosti 4 m od jedného konca je zavesené bremeno s hmotnosťou 6 kg a hmotnosť tyče zanedbáme?

[20 N ;  40 N ]   

            4.5. Nosník dĺžky 5 m je na koncoch podopretý. Kde sa musí umiestniť bremeno s hmotnosťou 12 t, aby na pravú podperu pôsobilo silou 25 kN, ak hmotnosť nosníka zanedbáme?

[3,96 m od pravej podpery ]   

            4.6. Otec a syn nesú bremeno hmotnosti 20 kg zavesené na tyči hmotnosti 4 kg a dĺžky 3 m. Ako ďaleko od chlapca treba zavesiť bremeno, aby otec niesol trikrát väčšiu záťaž ako syn?

[2,4 m ]   

            4.7. Pravítko s dĺžkou 400 mm má hmotnosť 400 g. Na jednom konci pravítka je pripevnené závažie s hmotnosťou 100 g. V ktorom mieste treba pravítko podoprieť, aby bolo v rovnovážnej polohe?

[160 mm od konca so závažím ]    

            4.8. Človek dvíha za jeden koniec trám, ktorého hmotnosť je 40 kg a dĺžka 4 m. Trám zdvihol do takej polohy, že s vodorovnou rovinou zviera uhol 30^o. Určte veľkosť kolmej sily, ktorou pôsobí človek na trám v tejto polohe!

[173 N ]   

            4.11.  Určte moment zotrvačnosti tyče dĺžky 1 m a hmotnosti 1,2 kg, ak rotuje okolo osi ktorá

            a) prechádza stredom tyče,

            b) prechádza koncom tyče.

            [0,100 kg.m² ;  0,400 kg.m² ]   

            4.12.  Valec rotuje okolo svojej rotačnej osi súmernosti uhlovou rýchlosťou 2 s^-1 . Vypočítajte jeho kinetickú energiu, ak polomer podstavy je 150 mm, hmotnosť valca je 2 kg!

[73,2 kN]     

            5.2.  Jablko s hmotnosťou  0,2 kg  sa nachádza na povrchu Zeme. a) Určte ich vzájomné silové pôsobenie  Fg , b) intenzitu gravitačného poľa Zeme  EZ  v strede jablka, c) intenzitu gravitačného poľa jablka  Ej  v strede Zeme!

[a) Fg = 1,962 N  ;  b) EZ  = 9,81 m.s^-2  ;   c) Ej  = 3,2 . 10^-25 m.s^-2 ]   

            5.3.  Aký je pomer gravitačného zrýchlenia na povrchu Mesiaca a na povrchu Zeme? Polomer Mesiaca je 0,273-násobok polomeru Zeme a hmotnosť Mesiaca je 0,0123-násobok hmotnosti Zeme.

                5.4.  Vypočítajte gravitačnú silu medzi  Slnkom (MS = 1,99 . 10³⁰ kg) a planétou Urán   (MU  = 8,56 . 10²⁵ kg), ak vzdialenosť medzi nimi  je  28,8 . 10¹¹ m!

[ 0,137 . 10²² N ]   

            5.5.  Vypočítajte gravitačnú silu medzi  Slnkom  (M_s = 1,99 . 10³⁰ kg) a  planétou Zem   (M_z = 5,98 . 10²⁴ kg), ak vzdialenosť medzi nimi  je  1,49 . 10¹¹ m!

[3,53 . 10²² N ]  

            5.6.  Akou veľkou silou pôsobí Mesiac na  1 m3  morskej vody s hustotou  1030 kg m^-3 na povrchu Zeme? Hmotnosť Mesiaca je  7,34 . 10²² kg ,  vzdialenosť Mesiaca od Zeme je 384000 km  a polomer Zeme je 6378 km!

[0,0353 N ]   

            5.7.  Určte hmotnosť Marsu, ak intenzita gravitačného poľa na povrchu Marsu je 3,63 N.kg-1 a jeho polomer je  3,32 . 10⁶ m!

[6 . 10²³ kg ]   

            5.8.  Vypočítajte gravitačné zrýchlenie na povrchu Slnka, ak jeho hmotnosť je 1,99 . 10³⁰  kg   a polomer  je   6,96 . 10⁸ m!

[274  m.s^-2 ]

            5.9.  Aby mohla meteorologická družica pravidelne snímať určitú oblasť Zeme, musí obiehať súčasne so Zemou po geosynchrónnej (geostacionárnej) dráhe, t. j. vzhľadom na pozemského pozorovateľa musí byť nehybná. Aký je polomer tejto dráhy?

[ ]   

            5.10.  Aká je perióda otáčania umelej družice Zeme na dráhe, ktorej polomer sa rovná polovici polomeru geosynchrónnej dráhy (úloha  5.9 )?

[10 h 28 min]   

            5.11.  Vypočítajte periódu obehu Venuše okolo Slnka, ak hmotnosť Slnka je 1,99 . 10³⁰ kg a polomer obežnej dráhy je  1,08 . 10¹¹ m!

[ ]   

            5.12.  Saturn má hmotnosť 95-krát väčšiu ako Zem a polomer  9-krát väčší ako polomer Zeme. Vypočítajte gravitačné  zrýchlenie na povrchu Saturnu!

[11,5  m.s^-2 ]   

            5.13.  Použitím údajov z predchádzajúceho príkladu vypočítajte strednú hustotu Saturnu! Polomer Zeme je  R = 6378 km .

[720  kg.m^-3 ]   

            5.14.  Určte hmotnosť Slnka z polomeru obežnej dráhy Zeme 1,49 . 10¹¹ m , periódy obehu Zeme a gravitačnej konštanty k.

[2 . 10³⁰ kg ]   

            5.15.  Použitím výsledku z predchádzajúceho príkladu vypočítajte strednú hustotu Slnka, ak jeho polomer  je 6,96 . 10⁸ m!

  [1,4 . 104  kg.m^-3 ]   

            5.16.  Určte hmotnosť Jupitera zo známeho stredného polomeru obežnej dráhy jeho mesiaca Io 4,22 . 10⁸ m , periódy obehu tohto mesiaca  42,5 h  a gravitačnej konštanty k!

[1,9 . 10²⁷ kg ]   

6.  Práca, mechanická energia, výkon

            Stála sila F vykoná prácu W, ak sa jej pôsobisko posunie o dráhu s:

kde a  je uhol medzi smerom pôsobenia sily a dráhou.

             Výkon je definovaný podielom práce W a času t , za ktorý bola práca vykonaná:

                Okamžitý výkon možno vyjadriť vzťahom

 P = F.v

 kde v je okamžitá veľkosť rýchlosti telesa.

            Energia je schopnosť konať prácu a prejavuje sa v rôznych formách.

            Teleso s hmotnosťou  m  pohybujúce sa rýchlosťou  v  má   translačnú kinetickú energiu

 Práca výslednice síl pôsobiacich na teleso pri translačnom pohybe sa rovná prírastku jeho kinetickej energie

             Potenciálna energia v tiažovom poli telesa hmotnosti m vo výške h vzhľadom na určitú vzťažnú výšku sa rovná práci, ktorú vykoná pole pri jeho premiestnení z tohto miesta na miesto vo vzťažnej výške

E_p = m g h

            Práca vykonaná tiažovým poľom na telese pri jeho posunutí z miesta s potenciálnou energiou  EP1 do miesta s potenciálnou energiou  EP2 sa rovná úbytku jeho potenciálnej energie

 W = m g (h1 - h2) =  EP1 - EP2

Pozor! Takto definovaná potenciálna energia v tiažovom poli má obmedzenú platnosť len pre malé výšky nad zemským povrchom, kde možno považovať veľkosť gravitačného zrýchlenia za konštantnú (vzťah (3) kap. 5)!

             Potenciálna energia deformovanej pružiny s tuhosťou pružiny  k  sa rovná práci potrebnej na jej deformáciu  y

 čo súvisí s tým, že veľkosť sily pružiny je priamo úmerná deformácii  y  ,    F = k y  .

Úlohy

            6.1.  Robotník posunul kváder lanom po podlahe o 3,2 m  silou  250 N. Lano bolo pritom rovnobežné s podlahou. Akú prácu vykonal?

[800 J ]   

            6.2.  Dieťa ťahalo vozík na povraze silou 80 N tak, že prvý meter dráhy bol povraz rovnobežný s podlahou a druhý meter zvieral povraz  s podlahou uhol 30 . Akú celkovú prácu dieťa vykonalo?

[149,3 J ]   

            6.3.  Akú prácu vykoná žena vážiaca 51 kg , keď vyjde po schodoch do výšky 3 m?

[1501 J ]   

            6.4.  Otec tlačí kočík silou 20 N  rovnobežne s chodníkom. Ak pritom vykoná prácu 1750 J, akú dráhu prejde?

[875 m ]   

            6.5.  Záhradník ťahá striekaciu hadicu 2 m po vodorovnom chodníku silou 30 N  pod uhlom 20^o . Akú prácu vykoná?

[56,4 J ]   

            6.6.  Chlapec posúva sánky po zasneženej rovnej ceste rovnobežnou silou. Po prejdení dráhy 3 m  vykoná prácu 75 J. a) Akou silou pôsobí?  b) Akou silou bude musieť pôsobiť pod uhlom  45º smerom nahor, aby vykonal po tej istej dráhe rovnako veľkú prácu?  c) Čo sa zmení pri pôsobení sily pod tým istým uhlom smerom nadol?

[a) Fo = 25 N ;  b) a  c) v oboch prípadoch  je sila rovnaká:  F = 35,36 N = 1,4 Fo ]   

            6.7.  Aká práca sa vykoná na rozbehnutie automobilu SAAB 9000 Turbo s hmotnosťou 1400 kg z pokoja do stavu s rýchlosťou  25 m/s ?

[4,4 . 10⁵  J ]   

            6.8.  Pingpongová loptička s hmotnosťou 2,5 g bola uvedená z pokoja do pohybu vykonaním práce 1,8 J. Akú  rýchlosť dosiahla, ak zanedbáme straty trením o vzduch?

[38 m/s ]   

            6.9.  Akou rýchlosťou by muselo bežať dievča vážiace 50 kg, aby dosiahlo rovnakú kinetickú energiu ako automobil s hmotnosťou 1000 kg pohybujúci sa rýchlosťou 2 km/h?

[ 2,48 m/s ]   

            6.10.  Akú dráhu preletí za 2 s meteorit s hmotnosťou 10 kg, ak sa pohybuje rovnomerným priamočiarym pohybom s kinetickou energiou 4,5 . 10⁷  J?

[6 km ]   

            6.11.  Akú veľkú potenciálnu energiu vzhľadom na povrch zeme má opica vážiaca 50 kg, ak visí na konári vo výške  2,04 m?

[1000 J ]   

            6.12.   Kniha s hmotnosťou 0,25 kg leží na polici vo výške 0,75 m nad doskou stola, ktorá je 0,8 m nad podlahou. Určte potenciálnu energiu knihy a) vzhľadom na stôl, b) vzhľadom na podlahu!

[ a) 1,84 J b) 3,80 J ]   

            6.13.  S akým výkonom pracuje Ferdo Mravec, keď vytlačí sánky z ihličia s hmotnosťou 0,1 g  na vrchol mraveniska vo výške 0,4 m za 2 min ?

[3,27 . 10^-6 W ]   

            6.14.  Do akej výšky zodvihneme melón s hmotnosťou 2,04 kg pri výkone 5 W za čas 2 s ?

[0,5 m ]   

            6.15.  Výťah je poháňaný motorom s maximálnym výkonom  10,9 kW . Akou najväčšou  hmotnosťou možno zaťažiť výťah, aby do výšky  40 m  vyšiel za čas 18 s?

[500 kg ]   

            6.16.  Indián poháňa kanoe silou  200 N.  S akým výkonom pracuje, ak sa plaví rýchlosťou 5 km/h?

[277,78 W ]   

            6.17.  Motor automobilu má výkon 40 kW  pri stálej rýchlosti 60 km/h. Aká je priemerná sila odporu spôsobená vetrom, trením o vozovku a ostatnými vplyvmi?

[2400 N ]   

            6.18. Gymnastka vážiaca 50 kg visí na pružine, pričom ju natiahla o 1 m. Akú potenciálnu energiu získala pružina?

[245 J ]   

            6.19. Janka a Danka sa spúšťajú na saniach dolu kopcom so sklonom 20^o. Vážia spolu so sánkami 60 kg a koeficient trenia medzi snehovou vrstvou a saňami je 0,2. Akú prácu vykoná  výsledná sila, ak je kopec dlhý 10 m?

[W = m g s (sina - m cosa ) =  906,8 J ]   

            6.20. V situácii z konca predchádzajúceho príkladu príde otec a vytiahne sane s Jankou a Dankou opäť hore kopcom. Akú prácu pritom vykoná? Potrebné údaje použite z príkladu 6.19.

[W = m g s (sina + m cosa ) = 3119,3 J ]   

            6.21. Vajce padá z hniezda vo výške 3 m. Akú rýchlosť dosiahne vo výške 0,5 m nad zemou?

[7 m/s ]   

Fyzika pre študentov ŽU  |  Obsah  |  Fyzika v príkladoch