27. - Archimedova špirála

27. Pohyb bodu je daný v polárnych súradniciach rovnicami r = n . t, φ = b . t, kde n a b sú konštanty. Nájdite rovnicu dráhy pohybu a vyjadrite závislosť rýchlosti a zrýchlenia od času!

n, b

r = n . t

φ = b . t

v = ?, a = ?

Pohyb bodu je vyjadrený rovnicami:

r = nt ,

(1)

φ = bt .

(2)

Keď si z predchádzajúcej rovnice (2) vyjadríme čas t a dosadíme do rovnice (1), dostaneme rovnicu dráhy pohybu bodu:

r = n / b φ .

(3)

Pohyb bodu v rovine možno okrem karteziánskych súradníc x, y opísať aj dvojicou krivočiarych - polárnych súradníc r, φ. Medzi karteziánskymi a polárnymi súradnicami existuje vzájomne jednoznačné priradenie vyjadrené rovnicami:

x = r cos φ ,

(4)

y = r sin φ ,

(5)

pričom

r = (x² + y²)^1/2 .

(6)

Dosadením pôvodných vzťahov r = nt, φ = bt do predchádzajúcich rovníc (4) a (5) dostávame súradnice polohy bodu v čase t:

x = nt cos bt ,

(7)

y = nt sin bt .

(8)

Zderivovaním vzťahov (7), (8) podľa času dostaneme rovnice rýchlosti v_x a v_y:

v_x= dx / dt = n cos bt + nt (-sin bt) b ,

(9)

v_y = dy / dt = n sin bt + nt cos bt b .

(10)

Druhou deriváciou polohy bodu podľa času dostaneme vzťahy pre zrýchlenia a_x, a_y v daných smeroch:

a_x = d²x / dt² = n (-sin bt) b + n (-sin bt) b - nt cos bt b² ,

(11)

a_x = -2n sin bt b - nt cos bt b² ,

(12)

a_y = d²y / dt² = n cos bt b + n cos bt b + nt (-sin bt) b² ,

(13)

a_y = 2n cos bt b - nt sin bt b² .

(14)

Pre hodnotu celkovej rýchlosti v hmotného bodu platí:

v = {v_x²+ v_y²}^1/2

(15)

v = {[n cos bt - nt sin bt b]²+ [n sin bt + nt cos bt b]²}^1/2=

= {(n cos bt)² - 2n cos bt nt sin bt b + (nt sin bt b)² +

+ (n sin bt)²+ 2n sin bt nt cos bt b + (nt cos bt b)²}^1/2 =

= {(n cos bt)²+ (nt sin bt b)²+ (n sin bt)² + (nt cos bt b)²}^1/2=

= {n²[cos²bt + sin²bt ] + n²t²b²[sin² bt + cos²bt ]}^1/2 =

= {n² + n²t²b²}^1/2 = {n²(1+ t²b²)}^1/2 = n{1+ t²b²}^1/2 .

v = n {1 + t²b²}^1/2 .

(16)

Pre celkové zrýchlenie a platí:

a = {a_x²+ a_y²}^1/2

(17)

a = {[-2n sin bt b - nt cos bt b²]² + [2n cos bt b - nt sin bt b²]²}^1/2=

= {4n²sin²bt b²+ 4n sin bt bnt cos bt b²+ n²t²cos²bt b⁴ +

+ 4n²cos²bt b²- 4n cos bt bnt sin bt b²+ n²t²sin²bt b⁴}^1/2 =

= {4n²b²[cos²bt + sin²bt] + n²t²b⁴[cos²bt + sin²bt]}^1/2 =

= { 4n²b² + n²t²b⁴}^1/2= {n²b²(4 + t²b²)}^1/2= nb{4 + t²b²}^1/2

a = nb {4 + t²b²}^1/2 .

(18)

Dráha je Archimedova špirála s rovnicou: r = ( n / b ) φ .

Rýchlosť bodu je v = n (1 + t²b²)^1/2 a jeho zrýchlenie a = nb (4 + t²b²)^1/2.

Druhá kozmická rýchlosť

Balistické kyvadlo

Dopplerov princíp