2.2.3 Výpočet ťažiska tuhého telesa

 

            Každé bežné teleso sa skladá z obrovského množstva atómov, takže už nie je tvorené navzájom oddelenými časťami, ale infinitezimálne malými elementami o hmotnostiach  dm. Teleso  uvažujeme ako objekt so spojito  rozloženou hmotnosťou. Všetky elementy telesa majú tiaž. Preto je dokonale tuhé teleso pod pôsobením nekonečného množstva príťažlivých síl. Všetky tieto sily možno nahradiť jednou silou. Bod pôsobenia tejto výslednej sily sa nazýva ťažisko . Súradnice ťažiska telesa získame, ak v rovniciach (2.2.3)  pre ťažisko sústavy hmotných bodov súčty nahradíme integrálmi. Polohový vektor ťažiska rT  telesa určuje vektorová rovnica 

 

                                                                                                                  (2.2.6)

 

kde r je polohový vektor vybraného elementu dm vo zvolenej vzťažnej sústave a m je hmotnosť celého telesa. Súradnice ťažiska sú definované vzťahmi

 

                                                                                                                    (2.2.7)

 

Pri spojitom homogénnom rozložení hmotnosti v celom objeme telesa, hustotu telesa r  s celkovou hmotnosťou m a celkovým objemom V  vyjadríme vzťahom

 

                                                                                                                                 (2.2.8)

 

odkiaľ pre element telesa dm,  pri zvážení homogénnosti telesa (r = konšt.),  platí

 

                                                                                                                         (2.2.9)

 

Pre telesá s nerovnomerne rozloženou hmotnosťou možno hmotnosť vyjadriť vzťahom

 

                                                                                                                    (2.2.10)

 

Ak nahradíme hmotnostný element v rovnici (2.2.7)  vzťahom  (2.2.9) , súradnice ťažiska možno vyjadriť pomocou objemových elementov vzťahmi

 

 

                                                        (2.2.11)

 

 

Integráciu uskutočňuje cez celý objem telesa V. Mnohé telesá vykazujú určitú geometrickú symetriu, ktorá môže byť napríklad stredová, osová alebo rovinná. Určiť polohu ťažiska homogénneho telesa nám uľahčuje práve jeho symetria. Ak je teleso symetrické podľa stredu,  ťažisko sa nachádza v strede symetrie:

·       Ťažisko homogénneho  kvádra (obr. 2.2.2 ) sa nachádza v priesečníku telesových uhlopriečok.

·       Ťažisko plnej homogénnej gule sa nachádza v strede gule.

·       Ťažisko homogénnej rovinnej dosky tvaru rovnoramenného trojuholníka sa nachádza v priesečnici ťažníc.

·       Ťažisko homogénneho valca sa nachádza na osi valca v polovici jeho výšky.

 Ťažisko v niektorých prípadoch môže ležať i mimo telesa. Ťažisko  zlatej obrúčky leží mimo prsteňa, v  strede symetrie.

Ťažisko homogénneho telesa, ktoré je symetrické podľa určitej roviny tak, že ho delí na dve zrkadlové časti,  leží v tejto rovine. (Napr. kokosový orech ,  slivka alebo banán).

V prípade, že chceme určiť ťažisko rovinného, resp. dĺžkového útvaru pomocou  rovníc (2.2.7),  integráciu cez hmotnosť skúmaného útvaru možno nahradiť integráciou  cez plochu S resp.  dĺžku l uvažovaného útvaru. Namiesto objemovej hustoty r telesa určenej rovnicou (2.2.8) možno zaviesť plošnú hustotu s resp. dĺžkovú hustotu l  , pomocou ktorých vyjadríme hmotnostný element  nasledovným spôsobom:

 

·       Pre homogénny rovinný útvar  s hmotnosťou m a plochou S,  zanedbateľnej hrúbky h, vzťah (2.2.9) možno upraviť

 

                                                                  (2.2.12)

 

kde sme zaviedli element plochy dS a plošnú hustotu rovinného útvaru s  vzťahom

 

                                                                                                                              (2.2.13)

 

Ak dosadíme vzťah (2.2.12) do (2.2.11) pre ťažisko  homogénneho rovinného útvaru ležiaceho v rovine xy dostávame vzťahy

 

         

 

                                                                   (2.2.14)


 


Poznámka: Je nevyhnutné si uvedomiť, že v prípade nehomogénneho rovinného  útvaru nemôžeme v rovniciach (2.2.14) plošnú hustotu vyňať pred integrál a celkovú hmotnosť musíme nahradiť integrálom cez hmotnostné elementy, určené rovnicou  (2.2.12).

 

·       Pre homogénny dĺžkový útvar  s hmotnosťou m a dĺžkou l,  zanedbateľného prierezu S , vzťah (2.2.9) možno upraviť

 

                                                                  (2.2.15)

 

kde sme zaviedli element dĺžky  dl a dĺžkovú hustotu l dĺžkového (lineárneho)  homogénneho útvaru ( napr. drôtu) vzťahom

 

                                                                                                                              (2.2.16)

 

Po jeho dosadení do (2.2.11) pre ťažisko  homogénneho dĺžkového útvaru, umiestneného do smeru osi x, dostávame vzťah

 

                                                                        (2.2.17)

 

Využitie symetrie  pri určovaní polohy ťažiska a uvedených vzorcov si demonštrujeme na príkladoch:

 

 

Príklad 2.2.2 Z homogénneho kartónu vystrihneme  dva útvary A a B,  zobrazené  na obrázku. Určite: a) polohu ťažiska jednotlivých útvarov A a B, b) polohu ťažiska výsledného útvaru, ktorý vznikne spojením, A a B, tak že útvary priložíme k sebe stranami  s veľkosťou b.  

 

                                           

Riešenie: Určíme si najprv polohu ťažiska útvaru A , resp. B. vo zvolenej súradnicovej sústave. Jednou z možností voľby súradnicovej sústavy ukazuje obr. a.  Y-ova os spadá do osi útvaru A,  takže x-ová súradnica ťažiska útvaru A leží na tejto osi, t.j. xTA = O. Z obr.  vidieť, že útvar A sa skladá z dvoch častí - A1 obdĺžnika so stranami 2r a b, ktorý ma na obidvoch koncoch vyrezaný polkruh o polomere r, a A2  kruh s polomerom  r.  Každý z útvarov A1 a A2 možno nahradiť hmotným stredom, v ktorom je sústredená celková hmotnosť m1 , resp.  m2. Zo symetrie zvolených útvarov pre polohu ťažiska vo zvolenej súradnicovej sústave platí:

 

xT1 = xT2 = 0    yT1  = b/2           yT12  = b

 

m1 = s S1   a   m2  = s S2,

 

kde S1 = 2r b - pr2  ,  S2 =  pr2. Pretože obidve x-ové súradnice sú nulové, bude aj x-ová súradnica objektu A nulová, t.j. xTA  = 0. Pre y-ovú súradnicu platí rovnica  (2.2.3). Po dosadení získame

 

 

 

Určíme polohu ťažiska rovnostranného trojuholníka, ktorý si orientujeme tak, ako ho budeme prikladať k objektu A (obr. b). Ťažisko bude ležať v jednej tretine výšky v od základne , t.j:

 

 

 

 

 

b) Určime ťažisko útvaru vzniknutého spojením útvarov A a B  pri orientácii znázornenej na obr. c

 

 

 

Príklad 2.2.3 Nájdite polohu ťažiska tenkej homogénnej hadičky (zanedbateľného prierezu) ohnutej do tvaru polkružnice s polomerom R.

 

Riešenie: Vo zvolenej súradnicovej sústave (obr. 1) ťažisko  dĺžkového útvaru bude vzhľadom na symetriu podľa osi y, ležať na tejto osi, t.j. xT =0. Y-ovú súradnicu ťažiska určíme z rovnice (2.2.7)

 

 

 

 

Pri výpočte sme vyjadrili y-súradnicu  vybratého elementu v polárnych súradniciach a  využili prepis dĺžkového elementu do polárnych súradníc, dl = R dj. Ťažisko má súradnice:

 

 

 

a leží mimo daného objektu.

 

 

Príklad 2.2.4

Vypočítajte  polohu ťažiska homogénneho rotačného kužeľa  s polomerom postavy R a výškou v

 

Riešenie:  T [x, 0, 0]