2.2.2 Kinematika  tuhého telesa

            Každý všeobecný pohyb možno rozložiť na konečný počet translačných a rotačných pohybov  a táto skutočnosť platí i pre pohyb tuhého telesa. Translačný pohyb koná tuhé teleso, keď ľubovolná priamka pevne spojená s telesom si zachováva v priestore stále svoj smer. Všetky body telesa pri translačnom pohybe opisujú rovnaké krivky a majú v tom istom okamihu rovnaké rýchlosti i zrýchlenia, čo do smeru i veľkosti. Pohyb telesa je určený pohybom ľubovolného jediného bodu. Najčastejšie je týmto bodom hmotný stred telesa. Translačný pohyb tuhého telesa je znázornený na obr. 2.2.2

 

    

Skúmajme pohyb tuhého telesa z miesta A do miesta B. Obr. 2.2.3 znázorňuje postupnosť jednotlivých pohybov telesa. V mieste A sa teleso nachádza v polohe 1 a  do polohy 2 sa dostane, ak najprv posunieme teleso translačným pohybom do polohy 2´a rotáciou potom teleso natočíme do  polohy 2. Priebeh pohybu preskúmame tým presnejšie, čím menšie delenia intervalu pohybu uskutočníme.

Skutočný priebeh pohybu tuhého telesa určíme ak rozložíme pohyb na nekonečne malé translácie a nekonečne malé rotácie okolo okamžitej osi, okolo ktorej sa teleso pri elementárnej rotácii otočí, aby sa dostalo do novej polohy. Pri skúmaní rotačného  pohybu musíme zvážiť prípady, že teleso rotuje okolo pevnej osi alebo teleso rotuje okolo pevného bodu.

 

 

·       Rotácia tuhého telesa okolo pevnej osi

 

Ak teleso upevníme v  jednom jeho bode, tak že tento bod nemení svoje súradnice v priestore, ostatné body telesa sa môžu pohybovať. Ak upevníme teleso v dvoch jeho bodoch, body telesa, ktoré neležia na spojnici týchto  dvoch pevných bodov, sa môžu pohybovať. Ak však teleso upevníme v troch jeho bodoch, ktoré neležia na jednej priamke, žiadny bod telesa sa nemôže  pohybovať. Poloha tuhého telesa v priestore je teda úplne určená polohou troch jeho bodov, neležiacich na jednej priamke. Každý bod telesa je určený tromi súradnicami. Tri zvolené body sú jednoznačne určené deviatimi súradnicami v priestore, avšak tri vzájomné  vzdialenosti troch zvolených bodov sú  zadefinované a sú konštantnými veličinami. Z tohto dôvodu počet nezávisle premenných,  určujúcich počet stupňov voľnosti pre dokonale tuhé teleso je šesť. Tuhé teleso upevnené v jednom bode má tri stupne voľnosti. (Uvedenú skutočnosť získame z úvahy: Voľný hmotný bod má tri stupne voľnosti. (Ak odpočítame tri súradnice zvoleného pevného bodu od šiestich stupňov voľnosti voľného tuhého telesa dostaneme tri.) Teleso, ktoré upevníme v dvoch bodoch má jeden stupeň voľnosti. Teleso upevnené v dvoch bodoch môže rotovať okolo pevnej osi prechádzajúcou týmito dvomi bodmi.

Pri rotačnom pohybe okolo pevnej osi body, ktoré ležia na osi rotácie sú počas pohybu v pokoji. Ostatné body telesa sú v pohybe. Každý bod neležiaci na pevnej osi, opisuje kružnicu, ktorá leží v rovine preloženej uvažovaným bodom  kolmo  na os rotácie. Všetky body telesa vykonávajú pohyb po kružnici s uhlovou rýchlosťou, ktorú nazývame uhlová rýchlosť tuhého telesa w. Uhlová rýchlosť telesa je vektor, ktorý má smer osi rotácie a je orientovaný na tú stranu, z ktorej pohyb sa javí proti smeru hodinových ručičiek , t.j. v kladnom zmysle. Rotáciu telesa okolo pevnej osi znázorňuje obr. 2.2.4

 

 

 

Smer vektora uhlovej rýchlosti možno definovať i pomocou pravidla pravej ruky podľa obr. 2.2.5 : Priložme pravú dlaň tak, aby prsty ukazovali smer postupu vybraného bodu telesa po kružnici. Vystretý palec ukazuje smer vektora uhlovej rýchlosti w .  

 

 

 

 

Medzi obvodovou a uhlovou rýchlosťou bodov telesa  platí vektorová rovnica

 

v  = w ´ r                                                                                                                       (2.2.4)

 

Rovnako ako pre hmotný bod je i pre tuhé teleso  definované uhlové zrýchlenie. Vektor   uhlového zrýchlenia telesa je určený rovnicou

 

.

 

Smer vektora zrýchlenia pri rotácii okolo pevnej osi má smer vektora uhlovej rýchlosti, ak sa teleso otáča zrýchleným pohybom (e > 0). Ak vektor zrýchlenia má smer opačný ako vektor uhlovej rýchlosti, teleso rotuje so spomalením (e < 0).   

 

·       Pohyb tuhého telesa okolo pevného bodu

 

Ak tuhé teleso rotuje okolo pevného bodu, každý hmotný bod telesa opisuje krivku na guľovej ploche so stredom  v danom pevnom bode. Pri rotácii tuhého telesa okolo pevného bodu, každý bod tuhého telesa v danom okamihu  rotuje okolo okamžitej osi rotácie, ktorá prechádza týmto bodom. Poloha okamžitých osí rotácie sa v priestore mení. V tomto prípade vektor uhlovej rýchlosti w  má vždy smer okamžitej osi rotácie a teda mení svoj smer . Uhlové zrýchlenie, ako vidieť z obr. 2.2.6 , neleží na okamžitej osi rotácii.

 

 

Rýchlosť ľubovolného bodu úplne voľného tuhého telesa určíme nasledovným spôsobom: Zvolíme v  telese ľubovolný bod  O´, ktorého poloha vzhľadom na začiatok súradnicovej sústavy O ( obr. 2.2.7) je r_0. Zvolíme ďalší ľubovolný bod telesa B , ktorého poloha  bude určená polohovým vektorom r, pre ktorý platí rovnica

 

r = r₀  + r´

 

Po  zderivovaní   tejto   rovnice,    rovnakým   spôsobom  ako    v časti  2.1.6, dostaneme         okamžitú  rýchlosť  ľubovolného  bodu   B   úplne voľného telesa, ktorá je určená                                           

                                                    

v  = v₀ + w ´ r´                                                                                                            (2.2.5)                                                                                                      

 

Rovnica (2.2.5) hovorí, že okamžitá rýchlosť ľubovolného hmotného bodu telesa B sa rovná vektorovému súčtu okamžitej rýchlosti translačného pohybu telesa v₀, ktorá udáva rýchlosť pohybu bodu O´, a rýchlosti w ´ r´ , ktorá udáva obvodovú rýchlosť bodu B pri rotácii okolo okamžitej osi rotácie prechádzajúcej bodom O´. Možno ukázať, že vektor uhlovej rýchlosti nezávisí na voľbe bodu O´, t.j. uhlové rýchlosti rotácií okolo dvoch okamžitých osí rotácií prechádzajúcimi dvomi rôznymi bodmi telesa (O´, O´´) sú rovnaké. Hovoríme teda o uhlovej rýchlosti otáčania tuhého telesa.