Matematické kyvadlo.

Rezonancia

Kyvadlom môže byť každé teleso otáčavé okolo vodorovnej osi, ktorá neprechádza jeho ťažiskom, napr. luster, zvon alebo panel na lane žeriava.

Matematické kyvadlo je zjednodušený model skutočných kyvadiel. Približne ho realizujeme guľôčkou s veľkou hmotnosťou zavesenou na tenkom pevnom vlákne. Guľôčku považujeme za hmotný bod a hmotnosť vlákna zanedbáme. Pri pohybe takto realizovaného matematického kyvadla neuvažujeme o odpore vzduchu, trení, ani o deformácii vlákna.

Matematické kyvadlo sa ustáli v rovnovážnej polohe 1 (obrázok). V tejto polohe je tiažová sila F_G, ktorá pôsobí na kyvadlo a napína vlákno v rovnováhe s ťahovou silou F, ktorou pôsobí vlákno na guľôčku kyvadla. Keď vychýlime guľôčku do bodu 2 a uvoľníme, pohybuje sa po časti kružnice polomeru l, ktorý sa rovná dĺžke kyvadla. Pohyb kyvadla opíšeme za predpokladu, že uhol a<5°. V tomto prípade je rozdiel medzi dĺžkou oblúka 213 a tetivy 23 taký malý, že oblúk môžeme nahradiť tetivou. Potom polovicu dĺžky tetivy považujeme za okamžitú výchylku y matematického kyvadla z rovnovážnej polohy 1.

Silu F_G môžeme v bode 2 rozložiť na dve navzájom kolmé zložky F₁ a F₂. Zložka F₂ napína záves a ruší sa jeho pevnosťou. Zložka F₁ spôsobuje pohyb kyvadla. Veľkosť oboch zložiek sa s časom mení. Pre veľkosť zložky F₁ platí

F₁ = F_G sin a

kde F_G = mg a  sin a = y / l, preto môžeme písať

Znamienko mínus vyjadruje skutočnosť, že sila F₁ má opačný smer ako okamžitá výchylka y.

Ak porovnáme vzťah pre veľkosť sily F₁ so vzťahom F = ma, ktorým vyjadrujeme druhý Newtonov pohybový zákon, pre zrýchlenie matematického kyvadla dostaneme

Porovnaním posledného vzťahu so vzťahom pre zrýchlenie harmonického pohybu

a = - w²y

zistíme, že pohyb matematického kyvadla (pri a<5°) môžeme považovať za harmonický.

Porovnaním oboch vzťahov pre zrýchlenie odvodíme vzťah na výpočet doby kmitu (periódy) T matematického kyvadla

Doba kmitu matematického kyvadla závisí od jeho dĺžky a tiažového zrýchlenia, nezávisí od hmotnosti kyvadla, ani od jeho okamžitej výchylky (pre a<5°).

Na obrázku je medzi dvoma stojanmi vodorovne napnutá gumová hadica, na ktorej sú zavesené štyri kyvadlá. Rozkývaním kyvadla 2 pôsobí jeho záves na hadicu premenlivou ťahovou silou (budiacou silou), ktorou sa postupne rozkývajú aj ostatné kyvadlá. Najväčšiu amplitúdu má kyvadlo 4, ktoré má rovnakú dĺžku a teda aj dobu kmitu ako kyvadlo 2.

Kyvadlo 2, ktoré sme rozkývali, koná vlastné kmitanie, kmity s vlastnou frekvenciou. Ostatné kyvadlá, na ktoré sa preniesla časť energie kyvadla 2 prostredníctvom hadice (väzby), konajú nútené kmitanie. Z pokusu podľa obrázku vyplýva, že amplitúda nútených kmitov je najväčšia, keď sa frekvencia budiacej sily rovná frekvencii vlastných kmitov telesa. Nastáva jav, ktorý nazývame rezonancia.

Rezonanciu môžeme demonštrovať aj dvoma ladičkami naladenými na rovnakú frekvenciu (s rovnakou frekvenciou vlastných kmitov). Keď jednu z nich rozozvučíme a potom utlmíme, počujeme, že znie aj blízko položená druhá ladička. Keď je druhá ladička naladená na inú frekvenciu ako prvá, rozozvučí sa slabšie, alebo sa vôbec nerozozvučí.