Harmonický pohyb

Pokusom podľa obrázku sa môžeme presvedčiť, že kmitavý pohyb koná aj priemet hmotného bodu pohybujúceho sa rovnomerne po kružnici. Amplitúda výchylky y_m tohoto kmitavého pohybu je rovnako veľká ako polomer r kružnice. Za dobu obehu guľôčky po kružnici vykoná jej priemet jeden kmit. Obežná doba guľôčky po kružnici sa rovná dobe kmitu jej priemetu.

Na základe analógie medzi kmitavým pohybom a rovnomerným pohybom po kružnici odvodíme vzťahy na výpočet okamžitej výchylky, rýchlosti a zrýchlenia kmitavého pohybu.

Na obrázku je rovnovážna poloha R priemetom bodu R', ktorým prechádza hmotný bod pohybujúci sa po kružnici v čase t=0 s, t.j. v okamihu, od ktorého začíname merať čas. Za čas t sa hmotný bod dostane do bodu P', ktorého priemetom je bod P. Sprievodič r hmotného bodu sa otočí o stredový uhol wt. Vzdialenosť RP=P''P' sa rovná okamžitej výchylke y. Pre jej veľkosť z trojuholníka OP''P' platí

y = r . sin wt alebo y = y_m . sin wt

Veľkosť okamžitej výchylky sa s časom mení ako funkcia sínus.

Periodické kmitavé pohyby, ktorých okamžitá výchylka sa s časom mení ako funkcia sínus, nazývajú sa harmonické pohyby. Grafickým znázornením závislosti okamžitej výchylky harmonického pohybu od času je sínusoida. Postup zostrojenia grafu je znázornený na obrázku. V technickej praxi sa časové rozvinutie kmitavých pohybov sleduje osciloskopom.

Podobným postupom, akým sme odvodili vzťah pre okamžitú výchylku harmonického pohybu, odvodíme aj vzťahy pre jeho rýchlosť a zrýchlenie.

Podľa obrázku (vľavo) môžeme písať

v = v₀.cos wt alebo v = wy_m.cos wt

pretože v₀ = wr a r = y_m.

Okamžité zrýchlenie harmonického pohybu vyjadríme pomocou obrázku (vpravo) ako priemet dostredivého zrýchlenia a_d = w²r do zvislého smeru

a = -a_d sin wt alebo a = - w² y_m sin wt

pričom posledný vzťah môžeme písať aj v tvare

a = -w² y

Znamienko mínus vyjadruje skutočnosť, že okamžitá výchylka a okamžité zrýchlenie majú v každom čase opačný smer. Vektor okamžitého zrýchlenia je priamo úmerný okamžitej výchylke a smeruje do rovnovážnej polohy.

Pri opise pohybu hmotného bodu po kružnici je w uhlová rýchlosť hmotného bodu a súčin wt sa rovná uhlu opísanému sprievodičom hmotného bodu za čas t. Pri kmitavom pohybe sa veličina w nazýva uhlová frekvencia. Súčin wt vyjadruje veľkosť veličiny fáza kmitavého pohybu. Pre uhlovú frekvenciu platia vzťahy