|

RELATIVITA - PŘÍKLADY
Př. 1.: Mion
-
Zadání: Doba života mionu (těžký elektron)
je Dt = 2.2´10-6
s. Mion vznikl ve výšce h = 30 km nad povrchem Země z kosmického
záření a dopadl na Zem. Jakou musel mít minimální rychlost při vzniku?
-
Řešení: Z hlediska pozorovatele na Zemi je
mion v pohyblivé soustavě a doba jeho života se prodlužuje na Dt = g Dt. Mion proto může ulétnout až vzdálenost h Ł cDt = cg Dt. Z tohoto vztahu vypočteme rychlost, kterou musí minimálně mít:
v = c[1 - (cDt/h)2]1/2.
-
Výsledek: v = 0.99976 c
Př.2.: Interval
-
Zadání: Dokažte, že interval Ds2
= - c2Dt2
+ Dx2
+ Dy2
+ Dz2
je invariantní, tj. nezávisí na volbě souřadnic.
-
Předpoklady: Předpokládáme, že máme dvě události (ta,
xa, ya, za) a (tb,
xb, yb, zb) a v nějaké
soustavě vypočteme veličinu Ds2,
kde Dt =
tb - ta, Dx
= xb - xa, ... Tato veličina rozhoduje o tom,
zda události mohou být kauzálně svázané a musí vyjít ve všech souřadnicových
soustavách stejně.
t' = g (t
- vx/c2)
x' = g (x
-vt)
y' = y
z' = z |
V čárkované soustavě pro interval obou událostí máme:
Ds' 2
= - c2Dt' 2
+ Dx'
2
+ Dy'
2
+ Dz'
2
=
= - c2g2 (Dt
- vDx/c2)2
+ g2 (Dx
-vDt)2
+ Dy2
+ Dz2
=
= - c2g2(1
- v2/c2)Dt2
+ g2(1 - v2/c2)Dx2
+ Dy2
+ Dz2
=
= - c2Dt2
+ Dx2
+ Dy2
+ Dz2
.
Výsledek je tedy shodný v obou soustavách.
Př. 3.: Parametry rychlé
částice
-
Zadání: Elektron je urychlen napětím U = 106 V.
Určete jeho rychlost z klasického i relativistického výrazu pro kinetickou
energii.
-
Řešení: Elektron v každém případě urychlením získá kinetickou energii
Wk = QU. V klasickém případě je
Wk = m0v2/2 Ţ v
= (2Wk/m0)1/2
= (2QU/m0)1/2.
V relativistickém případě je
Wk = gm0c2
- m0c2 Ţ v
= c[1 - (1 + QU/m0c2)-2]1/2.
-
Výsledek: vnerel = 1.98
c, vrel = 0.94 c. Nerelativistický výraz
tedy zjevně nemůžeme v tomto případě použít, vede k nadsvětelným rychlostem.
Př. 4.: Slunce
-
Zadání: Jak se změní hmotnost Slunce za jeden rok díky jeho vyzařování?
Intenzita slunečního záření v okolí Země je I = 1.4 kW m-2.
-
Řešení: Dm = DE/c2
= PDt /c2 =
4pR2I
Dt/c2.
-
Výsledek: Dm ~ 1017
kg. Celková hmotnost Slunce je 2´1030
kg. Jde tedy o zanedbatelný zlomek.
Př. 5.: Dopplerův jev
-
Zadání: Odvoďte relativistický Dopplerův jev pomocí transformace
čtyřvektoru (w/c, k). Proč dochází
k Dopplerovu jevu i tehdy, když zdroj pozorovatele jen míjí a jejich vzdálenost
se nemění (tzv. transverzální Dopplerův jev)?
-
Řešení:
Snadno nalezneme řešení v soustavě S '
spojené s zdrojem záření:
km = (w0/c;
kxcos a; kysin
a; 0) = (w0/c;
w0/c cos a;
w0/c sin a;
0). Nyní provedeme Lorentzovu transformaci do soustavy pozorovatele S:
.
Z prvního řádku maticového násobení máme výsledek
w = g (1
+ v/c cos a) w0.
tento vztah je známý jako relativistický Dopplerův jev. V limitě nízkých
rychlostí (zanedbáme členy kvadratické a vyšší v v/c) je
c ® 1 a w = (1 +
v/c cos a) w0.
Při vzdalování zdroje je a = 180° a w
= (1 - v/c) w0, při
přibližování zdroje je a = 0° a w
= (1 + v/c) w0. Jde
o známé nerelativistické Dopplerovy vztahy. Při vyšších rychlostech jsou
tyto vztahy modifikovány koeficientem g. Jestliže
zdroj záření pozorovatele míjí (a = ± 90°) je
w = g w0.
K změně frekvence tedy dochází i v případě, že se zdroj nevzdaluje ani
nepřibližuje. Tento jev se nazývá transverzální Dopplerův jev a jde o čistě
relativistický jev, který nemá v nerelativistické fyzice obdoby. Je způsoben
změnou chodu času v pohybující se soustavě.
Př. 6.: Heavisideovo pole
(ke zkoušce)
-
Zadání: Určete pole náboje letícího konstantní
rychlostí. Využijte transformaci čtyřvektoru (f/c,
A).
-
Řešení:
V soustavě spojené
s nábojem je zřejmě
f' = Q/(4pe0r',
A' = 0 .
|
|
Provedeme transformaci do soustavy S pozorovatele
.
Je zřejmé, že magnetické pole B = rot A je již nenulové,
a že elektrické pole E = - ¶ A/¶
t - ¶ f /¶
x je také modifikováno. Nový tvar polí je
Důležitá je kolmá a rovnoběžná složka elektrického pole:
Vidíme, že elektrické pole ve směru pohybu je stlačeno faktorem g-2
a napříč pohybu je nataženo faktorem g. Pole
se pohybuje spolu s nábojem. Magnetické pole tvoří kružnice kolmé na pohyb
náboje. Pro nekonečnou řadu nábojů bychom získali pole kolem vodiče. Podobně
lze postupovat při transformaci energie a hybnosti, hustoty a proudové
hustoty, atd.
Př. 7.: Pound Rebkův experiment
-
Zadání: Určete relativní změnu frekvence a vlnové délky v Pound-Rebkově experimentu. Foton prolétal starou vodárenskou věží o výšce
Dh = 22.6 m. Použity byly fotony s energií
14.4 keV emitované izotopem železa Fe57.
-
Řešení: Ze vztahu Dw/w0
= - Dl/l0
= Df/c2 = gDh/c2
snadno určíme Dw/w0 = 2.5´10-15, Dl/l0 = - 2.5´10-15.
Př. 8.: Kosmologický posuv
-
Zadání: Quasar má rudý posuv z = 2.5. Určete pozorovanou
vlnovou délku čáry l = 680 nm. Jaké byly rozměry
Vesmíru v době, kdy quasar vyslal záření?
-
Řešení: Stačí vyjít ze základního vztahu pro kosmologický rudý posuv:
z = Dl/l0
= [R(t) - R(t0)]/R(t0).
Odsud snadno určíme:
2.5 = l/l0
- 1 Ţ l
= 3.5 l0 = 2380 nm.
2.5 = R/R0 - 1 Ţ R0
= R /3.5 = 29% R.
Vlnová délka je posunuta do neviditelné infračervené
oblasti spektra. Rozměry Vesmíru byly v době vyslání signálu 29% rozměrů
dnešních.
Př. 9.: Náboj v elektrickém poli
Zadání: Řešte urychlování náboje z nulové rychlosti ve směru pole nerelativisticky a relativisticky.
Řešení nerelativistické: Budeme integrovat pohybovou rovnici
.
Nerelativistické řešení má zjevné vady, například
.
Náboj je nekontrolovatelně urychlován na jakoukoli rychlost.
Řešení relativistické: Budeme integrovat relativistickou pohybovou rovnici
.
Vidíme, že po první integraci jsme nedostali rychlost samotnou, ale vztah, ze kterého teprve musíme rychlost vypočítat:

.
Výraz pro rychlost již není tak jednoduchý, zato ale nediverguje,
.
Chcete-li znát polohu, je třeba provést ještě jednu integraci:
.


|
|