Stručný prehľad matematického aparátu použitého v kurze fyziky

Obsah:

·        I. Vektory

·        II. Derivácie

·        III. Integrály

·        IV. Operátory

o       IV.1 Gradient

o       IV.2 Divergencia

o       IV.3 Gaussova veta

o       IV.4 Rotácia vektora

o       IV.5 Stokesova veta

o       IV.6 Práca s operátormi

·        V. Niektoré derivácie a integrály funkcie jednej premennej použité v kurze Fyziky

I. Vektory

     V predmete fyzika sa pracuje s fyzikálnymi veličinami. Všetky sa dajú vyjadriť pomocou tenzorov rôzneho rádu a ich vlastných jednotiek. Tenzor nultého rádu je číslo, ktoré používame pri označení množstva fyzikálnej veličiny v jej vlastných jednotkách. Niektoré fyzikálne veličiny majú okrem množstva aj smer v priestore alebo vzhľadom na určitú plochu. Prvé budeme popi­sovať tenzormi 1. rádu - vektormi, druhé - tenzormi vyššieho rádu. Vektorová fyzikálna veličina je definovaná nasledovne. Aby fyzikálna veličina bola vektorom, je nutné, aby tri čísla vyjadru­júce túto veličinu sa pri prechode z jednej súradnicovej sústavy do inej súradnicovej sústavy transformovali tak, ako zložky polohového vektora , t.j.  .

     V Euklidovom priestore si vektor A môžeme rozpísať do tvaru  A = Axi + Ayj + Azk , kde Ax, Ay, Az sú projekcie tohto vektora na osi x, y, z a  i, j, k sú jednotkové vektory vo smere týchto osí, ako je to znázornené na obrázku 1.

Obr. 1 Zobrazenie vektora v Euklidovom priestore

V závislosti od usporiadania osí súradni­cová sústava môže byť pravotočivá alebo ľavotočivá. Na obr.1 máme pravotočivú súradnicovú sústavu. Komutatívny zákon, ktorý v nej platí, bude mať pre dva vektory  A a B  tvar:

A+B = B+A =(Ax+Bx)i + (Ay+By)j + (Az+Bz)k.

     Vektory môžeme nielen medzi sebou sčí­tať, ale aj násobiť. Podľa toho, či násobenie vedie ku skaláru alebo k vektoru, hovoríme o skalárnom a vektorovom súčine. Skalárny súčin dvoch vektorov dostaneme, ak vynáso­bíme hodnotu prvého vektora na projekciu druhého vektora na smer prvého vektora alebo opačne. Označovať ho budeme bodkou medzi vektormi a okrúhlymi zátvorkami. Môžeme  napísať:

(A·B) = A B cos= AxBx + AyBy + AzBz ,

 kde  je uhol medzi vektormi  A a B.

     Vektorový súčin dvoch vektorov je vektor, hodnota ktorého je rovná obsahu rovnobežníka opísaného týmito vektormi a jeho smer je kolmý na túto plochu. Vektorový súčin budeme označovať znamienkom x medzi vektormi a hranatými zátvorkami. V pravotočivej súradnicovej sústave  môžeme napísať:

[A x B] = (AyBz - ByAz)i + (AzBx - AxBz)j + (AxBy - AyBx)k.

Jeho absolútna hodnota bude rovná AB sin. Pre vektorový súčin môžeme použiť skrátený zápis pomocou determinantu:

 .

Pre vektorový súčin komutatívny zákon neplatí, lebo   [A x B] = - [B x A].

     Dvojitý vektorový súčin [ A x [ B x C ] ] je vektor, ktorý môžeme vyjadriť pomocou dvoch vektorov nasledovne:

[ A x [ B x C ] ] = B ( A·C ) - C ( A·B ).

    Zmiešaný súčin je definovaný ako súčin troch vektorov:

 (A·[B x C] ) = (B·[C x A]) = (C·[A x B] ).

Zmiešaný súčin je skalár a jeho hodnota sa rovná objemu telesa so stranami A, B, C. Môžeme ho vyjadriť aj pomocou determinantu:

 

 .

II. Derivácie

      Vo fyzike budeme veľmi často potrebovať vedieť vypočítať rýchlosť zmeny funkcie v danom bode. Nech f(x) je spojitá na intervale hodnôt x, v ktorom budeme skúmať jej zmenu. Zvolíme si malú zmenu hodnoty x rovnú Dx a budeme skúmať, ako sa chová pomer rozdielu hodnôt funkcie v bodoch x +Dx a x k hodnote Dx. Matematicky to môžeme vyjadriť nasledovne:

 .

Ak budeme interval Dx zmenšovať k nule, dostaneme zmenu funkcie f(x) v bode x. Matematicky si to vyjadríme nasledovne:

.

     Tento výraz budeme volať deriváciou funkcie f(x) podľa x.

     Často sa budeme stretávať s funkciami, ktoré majú viacej premenných. Ak chceme zistiť zmenu takejto funkcie od premenných, musíme najprv zistiť zmenu tejto funkcie od jednej pre­mennej. Takúto zmenu budeme volať parciálnou deriváciou podľa zvolenej premennej. Vypočí­tame ju podobne ako deriváciu funkcie od jednej premennej, a to tak, že zafixujeme ostatné pre­menné (t.j. pri výpočte derivácie ich budeme brať ako konštanty). Aby sme v zápise rozlíšili parci­álnu deriváciu od derivácie funkcie jednej premennej, budeme ju označovať tak, že namiesto pís­mena d budeme používať grécke písmeno . Napr. f/t - parciálna derivácia funkcie f podľa času. Celkovú zmenu funkcie viacerých premenných vyjadruje veličina, ktorú voláme gradient a o ktorej sa zmienime nižšie.

     Niekedy budeme potrebovať vedieť chovanie funkcie f(x) okolo určitého bodu. V tomto prípade nám poslúži Taylorov rad. Podľa Taylora hodnota funkcie f(x) v bode x v blízkosti určitého bodu napr. xo sa dá vypočítať, ak rozložíme funkciu do nasledovného radu:

V prípade funkcie viacerých premenných berú sa namiesto derivácie n-tého rádu všetky parciálne derivácie n-tého rádu a vynásobia vzdialenosťami zodpovedajúcich súradníc v n-tej mocnine. 

III. Integrály

     Okrem rýchlosti zmeny funkcie, bude nás veľmi často zaujímať aj obsah plochy ohraničenej zdola osou x a zhora určitou funkciou f(x) a to medzi dvoma konkrétnymi bodmi a a b. Toto sa dá dosiahnuť nasledovne. Rozdelíme úsečku  na malé dieliky Dx a každý vynásobíme hodnotou funkcie f(x) v strede úsečky Dx a potom všetky násobky sčítame. Označíme si tento súčet Fn(x):

.

     Ak teraz prejdeme k limite, t.j. Dx sa bude blížiť k nule a n ® ¥, dostaneme limitnú hodnotu, ktorú budeme volať hodnota určitého integrálu funkcie f(x) na úsečke a označíme si ho nasledovne:

.

     Ak existuje taká spojitá funkcia F(x), že hodnota integrálu F(a,b) sa dá vyjadriť rozdielom hodnôt funkcie F(x) v bodoch b a a, ak sa úsečka  nachádza v obore definície tejto funkcie, t.j. môžeme napísať F(a,b) = F(b) - F(a), potom budeme volať túto funkciu F(x) neurčitým integrálom funkcie f(x). Neurčitý integrál funkcie f(x) budeme označovať nasledovne:

.

     Je zrejmé, že derivácia funkcie F(x) je funkcia f(x). Takáto definícia integrálu ale neplatí v prípade funkcie viacerých premenných. Funkcia viacerých premenných je integrovateľná len vtedy, ak výraz

je úplným diferenciálom, t.j. existuje taká funkcia F(x1,x2,...xk), ktorá závisí len od súradníc a nie od spôsobu, akým prejdeme z jednej polohy do druhej.

     Vo fyzike sa budeme pohybovať v priestore, t.j. často po krivkách a nie len po priamkach. Pritom budeme chcieť vedieť napr. prácu sily na takejto dráhe, ak samotná sila bude závisieť od súradníc bodov, v ktorých je priložená. Vieme, že elementárna práca sily F na malom úseku dráhy dl je rovná ich skalárnému súčinu. Môžeme napísať dA=F.dl. Celková práca sily F na určitej časti krivky L bude rovná súčtu elementárnych prác a jeho limitná hodnota je integrál. Je teda potrebné si zaviesť pojem krivkového integrálu. Pod krivkovým integrálom budeme rozumieť integrál vektora a vzatého po určitej krivke L. Môžeme napísať:

kde l1 je jednotkový vektor, smer ktorého je smer elementu krivky dl, t.j. dl = l1dl. Skalárny súčin  (a·l1) sa často píše ako al, čiže projekcia vektora a na vektor ll. Potom krivkový integrál môžeme prepísať do tvaru:

.

     Podobne ako krivkový integrál môžeme si zadefinovať plošný integrál. Majme určitú vektorovú veličinu A a táto nám prechádza cez plochu S. Nás zaujíma množstvo tejto veličiny, ktoré prechádza cez túto plochu. Zvolíme si preto elementárnu plôšku dS. V trojrozmernom priestore bude ale táto elementárna plôška orientovaná, čo znamená že bude vektorom, označíme si ju teda dS. Kladný smer smeruje von z vydutej strany plôšky. V prípade roviny je treba dohodnúť sa na kladnom smere. Veličinu rovnú skalárnemu súčinu vektora A na danej plôške a elementárnej plôšky dS budeme volať elementárnym tokom vektora A cez plôšku dS a označíme si ju ako dF. Označme si jednotkový vektor elementárnej plôšky ako n a potom dF=(A·n)dS. Celkový tok F vektora A cez plochu S dostaneme sčítaním jednotlivých elementárnych tokov. Ak prejdeme k limite, dostaneme integrál vektora A cez plochu S. Môžeme teda napísať:

 

 

IV. Operátory

     Ďalším pojmom, s ktorým sa budeme stretávať vo fyzike, sú operátory. Operátor je symbol, ktorý ukazuje, akú operáciu máme vykonať s výrazom, ktorý je napísaný za operátorom. S niektorými operátormi sa teraz zoznámime:

IV.1. Gradient

     Nech j(x,y,z) je určitá skalárna funkcia. Rýchlosť jej zmeny môžeme vyjadriť vektorom, v smere ktorého bude najrýchlejšia zmena j. Tento vektor môžeme zapísať pomocou operátora gradient, skrátene grad:

    

Ak j bude funkciou určitého skalárneho poľa, potom gradient j bude mierou rýchlosti zmeny tohto poľa v bode (x,y,z).

IV.2. Divergencia

      Budeme sa stretávať aj s vektorovými poliami. Pri práci s nimi budú dôležité dve diferenciálne operácie. Jedna privádza ku skaláru, ktorý ukazuje stupeň rozbiehavosti vektorového poľa, druhá k vektoru, charakterizujúcemu zakrivenosť vektorového poľa. Prvú operáciu dosiahneme limitným prechodom toku vektora pri zmenšovaní uzavretého povrchu v bod, druhú analogickým pochodom použitým k cirkulácii.

     Aby sme dosiahli spomenutý skalár, najprv vypočítame tok vektora F z vnútra elementu objemu dxdydz so stredom v bode (xo,yo,zo). Na obr. 2 je znázornený tento elementárny objem.

Rozložíme si x-ovú zložku vektora F v okolí bodu (xo,yo,zo) do Taylorovho radu a dostaneme:

   ,

kde derivácie sa berú v bode (xo,yo,zo).          

Obr. 2 Znázornenie elementárneho objemu v Euklidovom priestore okolo bodu xo,yo,zo

Plošný integrál normálnej zložky F na ploche 1 bude:

 vyššie diferenciály. Plošný integrál normálnej zložky F na ploche 2 bude:

vyššie diferenciály. Znak mínus pred zátvorkami znamená, že sa integruje zložka F vo smere vonkajšej normály, ktorá na ploche 2 je rovná -Fx. Súčet týchto integrálov je rovný , ak zanedbáme veľmi malé hodnoty vyšších rádov. Preto s presnosťou malých vyšších rádov môžeme napísať:

Skalárnu veličinu voláme divergenciou vektora F v bode (x,y,z), skrátene div a jej presná definícia je nasledovná:

IV.3.Gaussova veta

     Vlastnosť aditivity toku a definícia divergencie vektora F nám dovoľujú získať dôležitý a výhodný spôsob výpočtu toku vektora z vnútra ľubovolného priestoru. V dôsledku aditivity tok z vnútra celej oblasti musí byť rovný súčtu tokov zo všetkých elementárnych oblastí nachádzajúcich sa vo vnútri uvedenej oblasti. Pretože platí predchádzajúca rovnica, integrály po elementárnom objeme dV môžeme zapísať ako div F dV a to znamená, že platí nasledovná veta o divergencii:

kde objemový integrál berieme po celej oblasti ohraničenej povrchom, po ktorom sa vedie integrovanie plošného integrálu na ľavej strane rovnice. Táto rovnica sa volá Gaussova veta v matematike.

IV.4. Rotácia vektora

      Zostáva nám preskúmať diferenciálny operátor, ktorý premieňa vektor na iný vektor. Tento operátor nám umožňuje zistiť mieru turbulentnosti vektorového poľa. Aby sme mohli vypočítať turbulentnosť vektorového poľa v bode P, vypočítame cirkuláciu okolo elementu plochy s nachádzajúcim sa na nej bodom P a podelíme ju plochou tohto elementu. Napríklad vezmeme element plochy kolmý na os x, pozri obr. 3. Potom integrál cirkulácie okolo dráhy 1® 2® 3® 4 bude:

Obr. 3 Schematické zobrazenie elementárnej plôšky a dráhy, po ktorej sa berie integrál cirkulácie

  Pre elementy kolmé k osiam y a z dostaneme:

 Ak elementárna plocha zviera s osami ľubovoľné uhly, dostaneme veľmi zložité výrazy. Zjednodušiť sa to dá ale tak, že výrazy

, budeme chápať ako x-ové, y-ové a z-ové zložky vektora. Takto definovaný vektor sa volá rotácia vektora, skrátene rot. Môžeme teda napísať:

 

IV.5. Stokesova veta

     Vezmime si ľubovoľný povrch S, ktorý je ohraničený uzavretou krivkou L. Rozdelíme povrch S na elementy dS a zložíme cirkulácie okolo týchto elementov. Podľa definície rotácie tento súčet môže byť napísaný ako:

kde vektor dS zodpovedá veľkosťou plôške dS a má smer normály k povrchu tejto plôšky a integrál sa berie po celej ploche S. Ale v dôsledku aditivity cirkulácie integrál

musí byť rovný cirkulácii po krivke L. To znamená, že môžeme napísať:

Táto rovnica sa volá Stokesova veta.

IV.6. Práca s operátormi

     Ak sa bližšie pozrieme na operátory gradientu, divergencie a rotácie, vidíme, že namiesto týchto troch operátorov môžeme použiť jeden vektorový operátor a operácie skalárneho a vektorového súčinu. Tento operátor sa volá operátor Hamiltona (nabla) a jeho tvar je nasledovný:

Teraz môžeme zapísať gradient skalárnej funkcie j ako:

grad j = Ñj,

divergenciu vektora F ako skalárný súčin operátora nabla a vektora F,

div F = ( Ñ · F )

a rotáciu vektora F ako vektorový súčin operátora nabla a vektora F, 

rot F = [Ñ x F ].

     Operátor nabla môžeme použiť aj dvakrát po sebe. Dostaneme tri prípady:

1.    Ñ [Ñ x V] = div rot V = 0

2.    [Ñ x (Ñ U)] = rot grad U = 0

3.    (Ñ·(Ñ U)) = div grad U = Ñ2

Ñ2 = Laplaceho operátor

     Napíšme si niektoré operácie s operátormi, s ktorými sa môžeme stretnúť vo fyzike. Označíme si konštantu ako c, skalárnu funkciu ako U a vektor ako V. Potom

1.    grad  c = 0

2.    grad (U1 + U2) = grad U1 + grad U2

3.    grad (cU) = c  grad U

4.    div c = 0

5.    div (V1 + V2) = div V1 + div V2

6.    div (cV) = c div V

7.    div ( U V) = U div V + (V · grad U)

8.    div [ V1 x V2 ] =  (V2· rotV1) - (V1· rot V2)

9.    div r = 3 (kde r je polohový vektor)

10.div (j(r) r) = 3 j(r) + r j(r)

11.rot (cV) = c rotV

12.rot (V1 + V2) = rot V1 + rot V2

13.rot (U·V) = U rot V + [grad U x V]

V. Niektoré derivácie a integrály funkcie jednej premennej použité v kurze Fyziky

Derivácie

 Funkcia

Derivácia

Funkcia

Derivácia

c (konštanta)

0

ln x

1/x

x

1

sin x

cos x

xn

n xn-1

cos x

- sin x

1/x

-1/x2

tg x

1/(cos2 x)

1/xn

- n/xn-1

cotg x

- 1/(sin2 x)

arcsin x

arccos x

 

arctg x

ax ln a

arccotg x

 

Neurčité integrály

Pre X = ax + b

 

Pre X = a2 ± x2

 

 

Určité integrály