559. Vypočítajte celkový náboj Zeme a plošnú hustotu náboja na jej povrchu, keď gradient potenciálu elektrického poľa zemského ovzdušia je na povrchu Zeme 100 V.m^-1 a keď polomer Zeme je 6378 km.

     Zem s voľným nábojom Q je obklopená nekonečným plynným dielektrickým prostredím s relatívnou permitivitou e_r. Na dotykovej ploche vznikne v dôsledku polarizácie dielektrika viazaný náboj Q´. Okolo Zeme s nábojom Q zostrojíme guľovú plochu S a počítame výtok elektrickej indukcie D z vnútra tejto plochy. Predpokladáme, že v dôsledku stredovej súmernosti Zeme má i jej pole rovnakú súmernosť a môžeme tvrdiť, že D má smer sprievodiča r a všade na guľovej ploche má rovnakú veľkosť. Potom zo zovšeobecnenej Gaussovej vety pre dielektrikum vyplýva:   

  ,

(1)

tok vektora elektrickej indukcie D ľubovoľnou uzavretou plochou sa rovná voľnému náboju, ktorý plocha uzatvára. (Tiež sa nazýva Maxwellov zákon.) Keďže indukcia elektrického poľa D súvisí s intenzitou elektrického poľa E vzťahom:

(2)

úpravou zovšeobecnenej Gaussovej vety dostaneme:

(3)

pretože z vlastností skalárneho súčinu pre siločiary E kolmé na plochu S vyplýva:  

(4)

Keďže pre veľkosť náboja dQ na povrchu elementárnej plochy dS Zeme platí:

(5)

kde s je plošná hustota elektrického náboja vo zvolenom bode plôšky dS, môžeme využitím Gaussovej vety písať:

(6)

Z predchádzajúceho vzťahu vyplýva, že hľadanú plošnú hustotu náboja sv danom mieste na povrchu Zeme môžeme vypočítať pomocou Coulombovej vety:

(7)

ako súčin permitivity prostredia e nachádzajúceho sa na povrchu Zeme a intenzity elektrického poľa E zadefinovanej ako gradient potenciálu j:

(8)

Porovnaním vzťahov (2) a (7) zistíme, že plošná hustota náboja spredstavuje veľkosť vektora elektrickej indukcie D. Dosadením zadaných hodnôt do vzťahu (7) dostaneme:

(9)

(10)

(11)

  .

Celkový náboj Zeme je 4,53 . 10⁵ C a plošná hustota náboja na zemskom povrchu je 8,86 . 10^-10 Cm^-2.

Absolútne čierne teleso