9.5  Kirchhoffove zákony

 

            Preberieme dôležitý prípad, keď elektrický prúd tečie kovovými vodičmi, rezistormi, kondenzátormi a cievkami, ktoré vytvárajú tzv. elektrickú sieť. Jednosmerná sieť, v ktorej tečú časovo ustálené prúdy sa skladá z rezistorov, spojovacích vodičov a zdrojov jednosmerného elektrického napätia. Tieto prvky sú zapojené tak, že vytvárajú vetvy (vetva obsahuje spojovacie vodiče, najmenej jeden rezistor a môže byť v nej zdroj napätia), ktoré sa stretávajú v uzloch (uzol je spojenie najmenej troch vetiev). Zvyčajne poznáme hodnoty napätí zdrojov a hodnoty odporov rezistorov. Spojovacie vodiče považujeme za ideálne, t.j. bezodporové. Úlohou je zistiť výpočtom hodnoty prúdov vo vetvách. Táto úloha sa rieši pomocou Kirchhoffových zákonov, čo je základná metóda riešenia elektrických sietí.

            Prvý Kirchhoffov zákon odvodíme z rovnice kontinuity elektrického prúdu pre stacionárny prípad, ktorého matematické vyjadrenie je (9.4.2). Na obr. 9.5.1 je uzol siete, v ktorom sa spájajú vetvy s prúdmi I1, I2, I3. Uzol obklopíme myslenou uzavretou plochou S, ktorá sa skladá z prierezov vodičov (v miestach, kde vodiče presekávajú túto plochu) S1, S2, S3 a zvyšku S0.

 

 

 

 

 

 

Vektory dS a vektory prúdových hustôt j sú súhlasne alebo nesúhlasne rovnobežné. Skalárne súčiny predstavujú prúdy I1, I2,  a -I3. Posledný integrál sa rovná nule, lebo prúdová hustota je rôzna od nuly len vo vodičoch. Podľa (9.4.2) je súčet integrálov na pravej strane rovný nule, t.j.

 

 

 

Všeobecne napíšeme

 

                                                                                                     (9.5.1)

 

 

kde n je počet vetiev stretávajúcich sa v uzle. Takže formulácia 1. Kirchhoffovho zákona znie: Súčet prúdov v uzle sa rovná nule. Musíme rozlišovať znamienkom prúdy, ktoré do uzla vstupujú od prúdov, ktoré z neho vystupujú. Keďže 1. Kirchhoffov zákon sme odvodili z rovnice kontinuity, môžeme tiež povedať, že 1. Kirchhoffov zákon je dôsledkom zákona zachovania náboja.

            Druhý Kirchhoffov zákon odvodíme zo základnej rovnice elektrostatického poľa, ktorá hovorí, že súčet elektrických napätí dU = E.dl pozdĺž uzavretej dráhy sa rovná nule. Z Ohmovho zákona v diferenciálnom tvare j = sE dostaneme

 

 

 

To znamená, že úbytky napätia dU sa objavujú len tam, kde je prúdová hustota, t.j. vo vetvách siete. Má teda zmysel voliť si dráhu l pri integrovaní len pozdĺž vetiev, a to tak, aby sme z vetiev dostali uzavretú dráhu, alebo ako hovoríme, uzavretú slučku. Pri takejto voľbe budú vektory j a dl rovnobežné. Potom pre úbytok napätia na úseku dl v nejakej vetve môžeme napísať

 

 

 

kde dR je odpor rezistora na dĺžke dl. Ak vezmeme celý rezistor, bude na ňom úbytok napätia  U = RI.   Na obr. 9.5.2 je časť siete s jednou uzavretou slučkou a so zvoleným smerom jej

 

 

obiehania (t.j. so smerom vektora dl vo vetvách). Pre súčet elektrických napätí máme

 

 

 

Okrem napätí na rezistoroch treba uvažovať aj elektrické napätia zdrojov, pretože aj tieto sa nachádzajú na uzavretej dráhe, po ktorej integrujeme. Všeobecne môžeme 2. Kirchhoffov zákon napísať

 

                                                                                   (9.5.2)

           

Súčet úbytkov napätí vytváraných prúdmi na rezistoroch + súčet elektrických napätí zdrojov sa v uzavretej slučke rovná nule.

V rovnici (9.5.2) je m počet rezistorov a p počet zdrojov v slučke.

            Pri riešení sietí je zvykom vyjadrovať sa zjednodušene: aj keď vieme, že elektrický prúd je skalárna veličina, hovoríme, že v danej vetve tečie prúd nejakým smerom. V skutočnosti ide o orientáciu vektora prúdovej hustoty j. Z historických dôvodov berieme orientáciu prúdovej hustoty takú, ako keby nosičmi náboja v kovoch boli kladné náboje. Takýto smer prúdu nazývame technickým smerom (bol zavedený ešte pred objavením elektrónu). Pri riešení siete pomocou Kirchhoffových zákonov sa riadime určitými pravidlami.

            Pri riešení sietí je výhodné sieť zjednodušiť, robíme to tak, že nahrádzame viac rezistorov jedným. Ak máme rezistory zapojené za sebou (do série), obr. 9.5.3, potom odpor náhradného rezistora je

 

 

 

                                                                             (9.5.3)

           

Ak máme rezistory zapojené vedľa seba (paralelne), obr. 9.5.4, potom odpor náhradného rezistora vypočítame z rovnice

 

 

 

                                                                           (9.5.4)

 

 

Pre dva paralelné rezistory je lepšie používať vzorec

 

                                                                                                (9.5.4a)

 

Vyššie uvedené vzorce pre náhradné odpory môžeme odvodiť pre siete na obr. 9.5.3 a obr. 9.5.4 pomocou Kirchhoffových zákonov.

            Pri zjednodušovaní zložitejších sietí sa používa prevod trojuholníka na hviezdu (alebo naopak).

           

 

Príklad 9.5.1:  Na meranie stredných odporov (100 W až 100 kW) sa používa Wheatstoneov mostík, obr. 9.5.5. Odvoďte podmienku rovnováhy mostíka (mostík je v rovnováhe vtedy, ak nulovým indikátorom neprechádza prúd).

 

 

Riešenie: Sieť má 6 vetiev, treba napísať 6 rovníc podľa 1. a 2. Kirchhoffových zákonov. Pri zostavovaní rovníc sa riadime pokynmi.  Rovnice podľa 1. Kirchhoffovho zákona:

 

                                                                                                                             (a)

                                                                                                                          (b)

                                                                                                                          (c)

 

Rovnice podľa 2. Kirchhoffovho zákona:

 

                                                                                                        (d)

                                                                                                       (e)

                                                                                                                 (f)

 

Po dosadení podmienky rovnováhy IN = 0 do týchto rovníc sa sústava rovníc zjednoduší a po úpravách a výpočtoch dostaneme podmienku rovnováhy, ktorá sa môže použiť na vyjadrenie odporu jedného rezistora, ak sú ostatné známe

 

 .

 

Kontrolné otázky:

 

1.      Aké by bolo znenie 2. Kirchhoffovho zákona, ak by sme miesto elektrického napätia zdrojov použili elektromotorické napätie?

2.       Je jednotný smer obiehania slučiek (pri písaní rovníc podľa 2. Kirchhoffovho zákona) dôležitý, alebo si môžeme zvoliť v slučkách rôzne smery obiehania?

3.       Ako postupujeme pri voľbe počtu rovníc pri riešení siete?