VLNY - PŘÍKLADY

Na této stránce naleznete:
	Nadsvětelné rychlosti - prasátko
	Nadsvětelné rychlosti - quasary
	Podélná vlna v davu
	Detonační vlna
	Hluk
	Ladička
	Rotující hvězda
	Disperzní relace (ke zkoušce !!)
	Směrový diagram

 

Př. 1.: Nadsvětelné rychlosti - "prasátko"

• Zadání: Světelným zdrojem můžeme otočit o 90° za 0.1 s. Jak daleko musí být projekční plocha, aby se světelná skvrna (prasátko) pohybovala nadsvětelnou rychlostí?

• Řešení: Úhlová rychlost prasátka je w = Dj/Dt. Obvodová rychlost na projekční stěně ve vzdálenosti l bude v = lw. Tato rychlost má být větší než rychlost světla c. Odsud plyne podmínka l > cDt/Dj.
• Výsledek: l > 20 000 km. To je podstatně méně než je oběžná dráha Měsíce (384 000 km!) a srovnatelné s oběžnými výškami některých sond.

Př. 2.: Nadsvětelné rychlosti - quasary

• Zadání: Vzdálený objekt se pohybuje směrem k pozorovateli pod malým úhlem téměř rychlostí světla. Určete, jakou rychlost naměří pozorovatel.

• Řešení: Poloha objektu je dána vztahy:

x(t) = vt sin a ,
y(t) = y₀ - vt cos a .

Signál k pozorovateli přichází se zpožděním v čase

t = t + y(t)/c .

Rychlost, kterou bude pozorovat pozorovatel proto bude



Je zřejmé, že pro malé úhly tato fiktivní pozorovaná rychlost snadno převýší rychlost šíření světla.

Př. 3.: Podélná vlna v davu

• Zadání: V davu lidí omdlí člověk. Všichni, kteří ho bezprostředně obklopovali, poodstoupí o jeden metr od něj. O kolik se posunou lidi padesát metrů od omdlelého? Každý v davu má tendenci zachovat si odstup 0.5 m od ostatních.
• Předpoklady: Lidé v davu jsou rozmístěni rovnoměrně. Všichni se budou snažit obnovit si svůj narušený osobní prostor poodstoupením od místa nehody, nikoli pootočením.
• Řešení: U kruhové vlny pro amplitudu platí A ~ 1/r^1/2. Proto A₂ = (r₁/r₂)^1/2A₁.
(r₁ = 0.5 m, r₂ = 50 m, A₁ = 1 m.)
• Výsledek: A₂ = 10 cm

(Autor: Vítězslav Kříha, v. h.)

Př. 4.: Detonační vlna

• Zadání: Při explozi nálože byla uvolněna energie 10⁵ J. Exploze trvala 1 s. Jaká bude maximální intenzita detonační vlny ve vzdálenosti 10 metrů od exploze a ve vzdálenosti 20 metrů od exploze?
• Předpoklady: Detonační vlna je kulově symetrická.
• Řešení: I = DE/(DS Dt) = DE/(4pr² Dt)
• Výsledek: I₁ = 80 Wm^-2, I₂ = 20 Wm^-2.

Př. 5.: Hluk

• Zadání: Jak se sníží hladina hluku, vzdálím-li se od zdroje hluku do dvojnásobné vzdálenosti?
• Předpoklady: Zdroj hluku je malý vzhledem ke vzdálenostech, ve kterých posloucháme a hluk se šíří sféricky symetricky.
• Řešení: Intenzita je úměrná kvadrátu amplitudy a pro kulovou vlnu je I ~ 1/r². Proto ve dvojnásobné vzdálenosti bude I₂ = I₁/4. Hladina hluku se sníží o DL = 10 log(I₁/I₀) - 10 log(I₂/I₀) = 10 log(I₁/I₂) = 10 log(4).
• Výsledek: DL = 6 dB.

Př. 6.: Ladička

• Zadání: Zdroj zvuku se pohybuje na vozíku rychlostí v = 25 cm s^-1 směrem ke stěně. Na opačné straně slyší pozorovatel rázy na frekvenci f_r = 3 Hz. Jaká byla frekvence zdroje zvuku, jestliže je rychlost zvuku c_s = 340 m/s?

• Řešení: Pozorovatel slyší jednak přímou vlnu nižší frekvence (zdroj se vzdaluje) a jednak vlnu odraženou od stěny (vyšší frekvence - zdroj se pohybuje ke stěně). Obě vlny se skládají v rázy na rozdílové frekvenci:

f₁ = f₀ (1 - v/c_s),  f₂ = f₀ (1 + v/c_s),  f_r = f₂ - f₁ = 2 f₀v/c_s.

Korekce frekvence na pohyb zdroje jsme napsali do čitatele (v<<c_s). Vidíme, že f₀ = f_rc_s / (2 v).
• Výsledek: f₀ = 2040 Hz.

Př. 7.: Rotující hvězda

• Zadání: Nalezněte vztah pro rozštěpení spektrální čáry způsobené rotací hvězdy. Vztah přepište pro vlnovou délku čar.
• Řešení: Rotace hvězdy způsobuje, že jeden okraj hvězdy se k nám přibližuje rychlostí v = R w a druhý okraj se toutéž rychlostí vzdaluje. R je poloměr hvězdy a w úhlová rychlost rotace hvězdy. Všechny spektrální čáry se tak budou štěpit na dvojice s frekvencemi f_1,2 = f₀ (1 ± Rw/c) a vlnovými délkami l_1,2 = c/[f₀ (1 ± Rw/c)] ~ (c ± Rw)/f₀. Opět jsme využili toho, že korekce jsou malé a lze je se změnou znaménka převézt z jmenovatele do čitatele (1/[1 + x] ~ [1 - x]). Rozdíl vlnových délek obou čar tedy bude Dl = 2Rw/f₀.

Př. 8.: Disperzní relace (ke zkoušce !!)

• Zadání: Standardní disperzní relace rovinné elektromagnetické vlny w² = c² k² je při průchodu světla plazmatem modifikována na tvar w² = w_p² + c² k². Rychlost šíření světla ve vakuu je označena c. Veličina w_p se nazývá plazmová frekvence (jde o frekvenci oscilací elektronů kolem iontů). Nalezněte závislost w(k) a diskutujte její průběh. Určete fázovou a grupovou rychlost šíření této vlny.
• Poznámka: Připomeňme si, že platí vztahy 

• Průběh disperzní relace:

Z grafu je zřejmé, že vlna se šíří jen pro frekvence w > w_p. Při nižších frekvencích elektromagnetické vlny se elektrony prostředí totiž „stihnou“ rozkmitat a vlna je absorbována, plazma je pro takovou vlnu neprůhledné.

• Fázová rychlost:

Fázová rychlost závisí na vlnové délce vlny (disperze!) a je větší než rychlost světla.
• Grupová rychlost:

Grupová rychlost je menší než rychlost šíření světla (jde o rychlost šíření informace).

Př. 9.: Směrový diagram

• Zadání: Nalezněte tvar vlnoploch pro vlnu s disperzní relací  w² = w_p² + c² k² cos² a.
• Řešení: Směrový diagram je závislost velikosti fázové rychlosti na úhlu a v polárním diagramu. Zřejmě je: