OPTIKA - PŘÍKLADY

Na této stránce naleznete:
	Osvětlení
	Youngův experiment
	Antireflexní vrstva
	Mřížka I (ke zkoušce)
	Mřížka II
	Čtvrtvlnná destička
	Fotoaparát
	Zrcadlo
	Fermatův princip

 

Př. 1.: Osvětlení

• Zadání: Lampa je umístěna nad kulatým stolem o poloměru R v jeho středu. Určete optimální výšku lampy nad stolem tak, aby osvětlení knihy ležící na okraji stolu bylo maximální.
• Předpoklady: Zdroj je dostatečně malý, vlnoplochu považujte za kulovou.

• Řešení: Osvětlení, stejně tak jako tok světelné energie, ubývá s kvadrátem vzdálenosti r od zdroje a závisí na úhlu dopadu:

I = I₀ cos a / r ² .

Dosadíme-li  cos a = h/r a za vzdálenost r z Pythagorovy věty r = (h² + R²)^1/2, získáme závislost:

I (h) = I₀h / (h² + R²)^3/2 .

Při maximálním osvětlení musí být derivace této funkce podle h nulová, což vede na podmínku:

(h² + R²)^3/2 - 3 h² (h² + R²)^1/2 = 0.

Po vydělení rovnice členem (h² + R²)^1/2 snadno nalezneme řešení

h = R / Ö2 .
 

Př. 2.: Youngův experiment

• Zadání: Určete polohu prvního maxima a prvního minima v Youngově experimentu se světlem o vlnové délce l = 500 nm. Vzdálenost štěrbin je d = 1 mm, vzdálenost stínítka L = 5 m.

• Řešení: Rozdíl optických drah (index lomu je roven jedné) bude

Podmínka pro první maximum tedy bude y d/L = l a podmínka pro první minimum y d/L = l/2. Odsud snadno určíme hodnoty y.
• Výsledek: První maximum bude ve vzdálenosti y = 2.5 mm a první minimum ve vzdálenosti 1.25 mm.

Př. 3.: Antireflexní vrstva

• Zadání: Na skleněné podložce o indexu lomu n_s = 1.5 je napařena vrstva laku tloušťky 0.5 mm s indexem lomu n_l = 1.6. Určete, které vlnové délky z viditelného spektra budou chybět v kolmo odraženém světle.

• Řešení: Rozdíl optických drah na odrazu na horní a spodní vrstvě laku je 2n_ld. Nesmíme zapomenout, že při odrazu na opticky hustším prostředí, (vrchní vrstva laku) se mění fáze na protifázi. V našem případě se tedy podmínky maxim a minim vymění. Pro minima tak máme:

2n_ld = ml      Ţ      l_m = 2n_ld / m.

• Výsledek: Do oblasti viditelného spektra spadají vlnové délky: 800 nm, 533 nm a 400 nm.

Př. 4.: Mřížka I (ke zkoušce)

• Zadání: Nalezněte součet rovinných vln ze všech rozptylových center mřížky. Určete skutečný průběh světelné intenzity světla prošlého mřížkou.

• Řešení: Dva sousední paprsky jsou vzájemně fázově posunuty o Dj = kd sin q = (2pnd/l) sin q. Je tedy nutné sečíst

Vzhledem k tomu, že nás zajímá intenzita světla I ~ EE*, nejsou násobící komplexní jednotky v posledním výrazu ani vypsány. Intenzita světla po průchodu mřížkou zjevně je

Tento průběh intenzity není vůbec jednoduchý, má celou řadu maxim a minim, z nichž jen některá maxima jsou opravdu výrazná. V těchto maximech je Dj/2 = jp, což vede na známou podmínku maxim na mřížce nd sin q = jl.

Př. 5.: Mřížka II

• Zadání: Mřížka má 300 vrypů na milimetr. Určete kolik řádů spekter mohu pozorovat.
• Předpoklady: Mřížku tvoří soustava vrypů na skleněné destičce s indexem lomu n = 1.5 a spektra se pozorují v prošlém světle.
• Řešení: Spektra vznikají ve směrech  hlavních maxim daných podmínkou

nd sin q = m l,    m = 1, 2, 3, ...

Teoreticky je maximální možný řád spektra omezen vztahem sin q < 1 a proto

m_max, teor = nd / l .

Vzdálenost vrypů je 1/300 mm. Chceme-li, aby i poslední spektrum mělo zobrazené všechny viditelné barvy od fialové po červenou, musíme za vlnovou délku vzít hodnotu červeného okraje spektra l = 750 nm, vyjde maximální teoretický řád spektra 6.

Př. 6.: Čtvrtvlnná destička

• Zadání: Nalezněte tloušťku čtvrtvlnné destičky vyrobené z berylu pro světlo o vlnové délce l = 500 nm. Podívejte se na tabulku Indexy lomu.

• Řešení: Řádná a mimořádná vlna mají vzájemně kolmé polarizace. Posunou-li se fázově o 90°, vznikne kruhově polarizovaná vlna. K tomu dojde, je-li řez tak tlustý, aby rozdíl optických drah byl l/4:

(n_e - n_o) d = l/4.

Odsud snadno určíme tloušťku destičky d.
• Výsledek: d = 15.6 µm.

Př. 7.: Fotoaparát

• Zadání: Velikost stromu na filmu je | y'| = 15 mm. Strom byl vysoký y = 15 m a vzdálený od fotoaparátu a = 45 m. Určete ohniskovou vzdálenost objektivu fotoaparátu.
• Předpoklady: Objektiv fotoaparátu chápeme jako spojnou čočku s  f = f '.

• Řešení: Kombinací rovnice pro zvětšení z = | a'/a | = | y'/y | a zobrazovací rovnice f /a + f '/a' = 1 snadno nalezneme výsledek. Pozor na zvolenou znaménkovou konvenci!
• Výsledek: f  » 4.5 cm.

Př. 8.: Zrcadlo

• Zadání: Dutým zrcadlem pozoruji vlastní oko ze vzdálenosti 30 cm od vrcholu zrcadla. Oko vidím dvojnásobně zvětšené. Nakreslete chod paprsků a určete poloměr křivosti zrcadla.

• Řešení: Známé hodnoty jsou a = 30 cm, z udaného zvětšení plyne a' = 60 cm, pro ohniskové vzdálenosti podle znaménkové konvence plyne f = R /2,  f ' = - R /2. Ze zobrazovací rovnice f /a + f '/a' = 1 již snadno dopočteme výsledek.

• Výsledek: Poloměr křivosti zrcadla je 120 cm.

Př. 9.: Fermatův princip

• Zadání: Odvoďte zákon lomu z Fermatova principu.

• Řešení: Ze všech možných trajektorií bude realizována trajektorie s minimální dobou chodu paprsku z bodu A do bodu B. Pro červenou trajektorii na obrázku je celková doba

t_AB = [x² + y_A²]^1/2 / v_A + [(L-x)² + y_B²]^1/2 / v_B .

Tuto závislost derivujeme podle proměnné x a položíme rovnou nule (nutná podmínka minima). Získáme tak podmínku

v_B x / [x² + y_A²]^1/2 - v_A (L-x) / [(L-x)² + y_B²]^1/2 ,

neboli

v_B sin a - v_A sin b = 0      Ţ      sin a / sin b = v_A / v_B .