KVANTOVÁ TEORIE - PŘÍKLADY



Př. 1.: Stefan Boltzmannův zákon

  • Zadání: Nalezněte z Planckova vyzařovacího zákona závislost celkové intenzity záření na teplotě.

  • Řešení: Stačí integrovat Planckovu formuli přes všechny frekvence. Do konstanty "const" zahrnujeme číselné koeficienty. Mezi ně patří nakonec i bezrozměrný integrál v posledním řádku, jehož hodnotu by bylo možné určit numericky:

.


Př. 2.: Wiennův zákon

  • Zadání: Nalezněte z Planckova vyzařovacího zákona závislost vlnové délky maxima vyzařování na teplotě.

  • Řešení: K hledání maxima využijeme Planckův zákon ve frekvencích, který je jednodušší pro derivování. Nutná podmínka maxima je

    Po derivování a jednoduchých úpravách podmínka přejde na rovnici

    ve které označíme 

 

    a získáme transcendentní rovnici (3 - x) = 3 exp(-x). Tato rovnice může být snadno řešena numericky nebo graficky (v grafu najdeme průsečík funkcí na levé a pravé straně rovnice). Řešení rovnice je buď x = 0 (toto řešení je triviální a vede na nulovou frekvenci) nebo x ~ 2.82144 (hledané řešení). Z definice x je zřejmé, že wmax ~ T, neboli lmax ~ 1/T.  

    Graf křivky 3 - x a křivky 3 exp(- x) Graf křivky 3 - x - 3 exp(- x)

Př. 3.: Slunce

  • Zadání: Nalezněte povrchovou teplotu Slunce, víte-li, že u Země je intenzita záření IZ = 1.4 kW/m2. Nalezněte povrchovou teplotu Slunce také z faktu, že maximum vyzařování je ve žluté barvě s lmax = 500 nm.
  • Další údaje: Vzdálenost Země od Slunce RZS = 150´106 km, poloměr Slunce RS = 700 000 km.

  • Řešení: Známe-li intenzitu záření Slunce u naší Země, můžeme určit celkový výkon Slunce P = 4pRZS2IZ. Z celkového výkonu spočteme intenzitu vyzařování na povrchu Slunce IS = P/4pRS2. Ta je podle Stefan Boltzmannova zákona rovna sT4. Pro teplotu na povrchu tak vychází:

T = [IZRZS2/sRS2]1/4.

    Z Wiennova posunovacího zákona víme, že vlnová délka maxima vyzařování je  lmax = b/T, odsud snadno určíme teplotu povrchu Slunce:

T = b/lmax .

  • Výsledek: Oběma postupy vychází teplota povrchu Slunce cca 5800 K.

Př. 4.: Člověk

  • Zadání: Nalezněte vlnovou délku na které vyzařuje maximum energie člověk o teplotě 37° C.
  • Předpoklady: Člověk září jako absolutně černé těleso.
  • Řešení: Využijeme Wiennův posunovací zákon

lmax = b/T = 0.00289/310 m = 9.3×10-6 m.

    Maximum je v infračervené oblasti. Na této vlnové délce musí být citlivá různá čidla monitorující pohyb člověka (bezpečnostní systémy apod.).

Př. 5.: Čára Ha

  • Zadání: Nalezněte vlnovou délku vodíkové čáry Ha (přechod z hladiny n = 3 na hladinu n = 2).

  • Řešení: Při přechodu se uvolní energie

DE = E3 - E2 = E1/9 - E1/4 = -13,6 eV (1/9 - 1/4) = 1.88 eV.

    Tato energie je rovna energii vyzářeného fotonu

.

    Odsud již snadno určíme vlnovou délku.
  • Výsledek: l = 656 nm.

Př. 6.: Mikroskop

  • Zadání: Nalezněte maximální možnou (teoretickou) rozlišovací schopnost elektronového mikroskopu. Elektrony jsou urychleny potenciálovým rozdílem 104 V.

  • Řešení: Elektron v elektronovém mikroskopu se chová jako vlna, mezní rozlišovací schopností je sama vlnová délka elektronu. Od částicových vlastností je tedy třeba přejít k vlnovým vlastnostem elektronu. Elektron je urychlen na kinetickou energii mev2/2 = QU. Z této rovnice zjistíme rychlost částice. Vzhledem k malému urychlujícímu napětí jsme použili jen nerelativistický vztah. Pro vyšší napětí by bylo třeba rychlost najít z relativistického vztahu (prohlédněte si příklad "Parametry rychlé částice"). Nyní přejdeme k vlnovým vlastnostem podle vztahu . Vzhledem k nerelativistické situaci je v převodní rovnici  p = mev a k = 2p/l.
  • Výsledek: Mezní rozlišovací schopnost je rovna vlnové délce elektronu l = h (2meQU)-1/2 ~ 10-11 m.

Př. 7.: Komutátor (ke zkoušce)

  • Zadání: Nalezněte komutační relaci mezi operátorem násobení souřadnicí a operátorem derivování.

  • Řešení: Přímo z definice komutátoru nalezneme výsledek:

[x, d/dx] f = (x d/dx - d/dx x) f = x df/dx - d/dx (xf ) = x df/dx - f - x df/dx = - f .

    Porovnáme-li první a poslední výraz, zjistíme:

[x, d/dx] = - 1.


Př. 8.: Jáma

  • Zadání: Nalezněte energetické hladiny v potenciálu nekonečné pravoúhlé jámy

.  

  • Řešení: V oblastech I a III je jediné řešením bezčasové Schrödingerovy rovnice y = 0 (potenciál je nekonečný). Z fyzikálního hlediska to znamená, že pravděpodobnost výskytu částice je nulová. Kdyby byla jáma konečná (konečný potenciál vně jámy), byla by vlnová funkce y v těsné blízkosti hranice jámy nenulová. Částice by měla sice malou, ale nenulovou pravděpodobnost existence i za hranicí jámy. V oblasti II má Schrödingerova rovnice tvar

    který lze upravit na standardní rovnici kmitů

    s jednoduchým řešením

y = A sin kx + B cos kx .

    Vlnová funkce musí být spojitá na obou hranicích jámy, proto musí platit y(0) = 0, y(a) = 0. Řešením této okrajové podmínky je

B = 0 , k = pn/a ,     n = 1, 2, 3, Ľ .

    Podmínka pro k není nic jiného než energetické spektrum (energie vystupuje v definici k).

  • Výsledek:


Př. 9.: Emise

  • Zadání: Určete relativní nepřesnost ve vlnové délce fotonu vyzářeného atomem při přeskoku elektronu mezi dvěma hladinami. Předpokládejte, že emisní akt trvá 10-8 s. Konkrétní výpočet proveďte pro l = 500 nm.
  • Řešení: Vyjdeme z limitního případu Heisenbergových relací neurčitosti:


D
(2pc/l) Dt ~ 1/2, 
(2pc/l2) Dl Dt ~ 1/2, 
Dl
/l ~ l/(4pcDt).
  • Výsledek: Dl/l ~ 1.4´10-8.

 
   Termodynamika     Kmity     Vlny     Elmg. vlny     Optika     Relativita     Kv. teorie   
   Příklady     Příklady     Příklady     Příklady     Příklady     Příklady     Příklady