559. Vypočítajte celkový náboj Zeme a plošnú hustotu náboja na jej povrchu, keď gradient potenciálu elektrického poľa zemského ovzdušia je na povrchu Zeme 100 V.m-1 a keď polomer Zeme je 6378 km.

 
     
 

R = 6378 km = 6378000 m,

E = 100 V.m-1,

er = 1,00059,

e0 = 8,854.10-12 C2.N-1.m2,

Q, s = ?

 
       
       
   

     Zem s voľným nábojom Q je obklopená nekonečným plynným dielektrickým prostredím s relatívnou permitivitou er. Na dotykovej ploche vznikne v dôsledku polarizácie dielektrika viazaný náboj . Okolo Zeme s nábojom Q zostrojíme guľovú plochu S a počítame výtok elektrickej indukcie D z vnútra tejto plochy. Predpokladáme, že v dôsledku stredovej súmernosti Zeme má i jej pole rovnakú súmernosť a môžeme tvrdiť, že D má smer sprievodiča r a všade na guľovej ploche má rovnakú veľkosť. Potom zo zovšeobecnenej Gaussovej vety pre dielektrikum vyplýva:   

 
     

  ,

(1)

 
   

tok vektora elektrickej indukcie D ľubovoľnou uzavretou plochou sa rovná voľnému náboju, ktorý plocha uzatvára. (Tiež sa nazýva Maxwellov zákon.) Keďže indukcia elektrického poľa D súvisí s intenzitou elektrického poľa E vzťahom:

 
     

  ,

(2)

 
   

úpravou zovšeobecnenej Gaussovej vety dostaneme:

 
     

  ,

(3)

 
   

pretože z vlastností skalárneho súčinu pre siločiary E kolmé na plochu S vyplýva:  

 
     

  .

(4)

 
   

Keďže pre veľkosť náboja dQ na povrchu elementárnej plochy dS Zeme platí:

 
     

    ,

(5)

 
   

kde s je plošná hustota elektrického náboja vo zvolenom bode plôšky dS, môžeme využitím Gaussovej vety písať:

 
     

  .

(6)

 
   

Z predchádzajúceho vzťahu vyplýva, že hľadanú plošnú hustotu náboja sv danom mieste na povrchu Zeme môžeme vypočítať pomocou Coulombovej vety:

 
     

 

(7)

 
   

ako súčin permitivity prostredia e nachádzajúceho sa na povrchu Zeme a intenzity elektrického poľa E zadefinovanej ako gradient potenciálu j:

 
     

  .

(8)

 
   

Porovnaním vzťahov (2) a (7) zistíme, že plošná hustota náboja spredstavuje veľkosť vektora elektrickej indukcie D. Dosadením zadaných hodnôt do vzťahu (7) dostaneme:

 
     

(9)

 
     

   
   

Keďže je elektrický náboj Q rozložený rovnomerne na guľovej ploche s polomerom R, pole v mieste s polohovým vektorom r (pre r > R) je také isté ako v prípade bodového náboja uloženého v strede gule:

 
     

      ,

(10)

 
   

pričom dQ predstavuje náboj pripadajúci na element povrchu dS. Vo vnútri gule (r < R) sa intenzita poľa rovná nule. Celkový náboj Q na povrchu Zeme určíme zo vzťahu (3) [prípadne zo vzťahu (10)], pričom pre polomer r guľovej plochy na jej povrchu platí r = R:

 
     

    .

(11)

 
     

  .

   
       
   

Celkový náboj Zeme je 4,53 . 105 C a plošná hustota náboja na zemskom povrchu je 8,86 . 10-10 Cm-2.

 
       
   

Intenzita spoločného gravitačného poľa

Tlmené harmonické kmity

Absolútne čierne teleso

 
       
403. - Zväčšenie vnútornej energie bloku  

Obsah

727. - Homogénne magnetické pole