291. Homogénna železná tyč s hmotnosťou m = 3 kg má pri teplote 8 °C dĺžku 1 meter. Vypočítajte, ako sa zmení moment zotrvačnosti tejto tyče vzhľadom na os kolmú na smer tyče a prechádzajúcu jej koncovým bodom, keď sa zohreje na teplotu 100 °C.

Moment zotrvačnosti homogénnej tyče vzhľadom na os prechádzajúcu jej koncovým bodom a kolmú na smer tyče vypočítame podľa vzťahu:

J = ň  x² dm  .

(1)

Keďže si element hmotnosti môžeme vyjadriť cez element dĺžky:

dm = (m / l) dx  ,

(2)

potom pre moment zotrvačnosti tyče vzhľadom na danú os môžeme písať: 

J = m / l  ň  x² dx

J = m / l  [x³ / 3]₀^l

J = 1/3 ml²  .

(3)

Pre zmenu momentu zotrvačnosti po predĺžení tyče platí:

DJ=  J₂ – J₁  ,

(4)

kde

J₂ = 1/3 ml₂²  a  J₁ = 1/3 ml₁²  ,

pričom

l₂ = l₁(1 + a Dt)  .

(5)

Využitím daných vzťahov pre zmenu momentu zotrvačnosti dostaneme:

DJ =  1/3 ml₁² ((1 + a Dt)² – 1)  .

Po dosadení hodnôt zo zadania dostávame:

DJ = 1/3 . 3 kg . (1 m)² . ((1 + 12 . 10 ^-6 K^-1 . 92 K)² - 1)  

DJ = 22 . 10^-4 kg.m²  .

Moment zotrvačnosti tyče vzhľadom na os kolmú na smer tyče a prechádzajúcu jej koncovým bodom sa po jej predĺžení zväčší približne o 22 . 10^-4 kg.m².

Stavová rovnica ideálneho plynu