53. Hmotný bod koná pohyb po kružnici s polomerom R = 20 cm so stálym uhlovým zrýchlením ε = 2 s-2. Vypočítajte hodnotu tangenciálneho, normálového a celkového zrýchlenia na konci štvrtej sekundy od začiatku pohybu, keď v čase t = 0 s bol hmotný bod v pokoji!

 
   
 

R = 20 cm

ε = 2 s-2

t = 4 s

at = ?,

an = ?,

a = ?

   
     
   

Pri pohybe po kružnici možno zrýchlenie hmotného bodu rozložiť na zložku tangenciálnu (dotyčnicovú) at a zložku normálovú (dostredivú) an, pričom platí:

 
     

a = at + an = dv / dt τ  +  v2 / R ρ  ,

(1)

 
   

kde τ je jednotkový vektor v smere dotyčnice a ρ je jednotkový vektor smerujúci do stredu kružnice. Pre tangenciálne zrýchlenie at môžeme písať:

 
     

at = R ε

(2)

 
   

a pre normálové zrýchlenie an:

 
     

an = v2 / R = ω2 R  .

(3)

 
   

Pre veľkosť celkového zrýchlenia teda platí:

 
     

| a | = ( at2 + an2 )1/2 = ( R2 ε2 + v4 / R2 )1/2  .

(4)

 
   

Uhlová rýchlosť ω a uhlové zrýchlenie εpohybujúceho sa bodu sú definované vzťahmi:

 
     

ω = dα / dt  ,

(5)

 
     

ε = dω / dt = d2α / dt2  ,

(6)

 
   

kde αpredstavuje vektor, ktorého hodnota je daná veľkosťou uhla opísaného polohovým vektorom pohybujúceho sa bodu. Súvis uhlovej rýchlosti ω s obvodovou rýchlosťou v pohybujúceho sa bodu po kružnici vyjadruje vzťah:

 
     

v = ω x R  ,

(7)

 
   

kde R je polomer kružnice. Keďže sa hmotný bod pohybuje po kružnici s konštantným uhlovým zrýchlením ε, pre uhlovú rýchlosť ωplatí:

 
     

ω = ∫ ε dt = ε t + ω0  .

(8)

 
   

Keďže je uhlová rýchlosť na začiatku nulová (ω0 = 0 rad.s-1), pre uhlovú rýchlosť ω v ľubovoľnom čase t možeme písať:

 
     

  ω = ε t

 (9)

 
   

Po dosadení konkrétnych hodnôt dostávame pre uhlovú rýchlosť ω :

 
   

ω = 2 s-2. 4 s

 
   

 ω = 8 s-1

 
    Túto hodnotu uhlovej rýchlosti ω použijeme vo vzťahu (7) na výpočet veľkosti rýchlosti pohybu hmotného bodu po kružnici v. Keďže ω je kolmá na R, môžeme písať:  
     

v = ω R

   
     

v = 8 s-1 . 20 cm

   
     

v = 160 cm.s-1

   
   

Získané hodnoty dosadíme do vzťahov (2), (3) a (4) pre výpočet veľkostí tangenciálneho at, normálového an a celkového zrýchlenia a:

 
     

at = 20 cm . 2 s-2

   
     

at = 40 cm.s-2

   
     

an = (160 cm.s-1)2 / 20 cm

 
     

an = 1280 cm.s-2

 
           
     

a = [ (40 cm.s-2)2 + (1280 cm.s-2)2 ]1/2

   
     

a = 1280,6 cm.s-2

 
       
   

Hodnota tangenciálneho zrýchlenia v čase 4 s je 40 cm.s-2.

Hodnota normálového zrýchlenia v čase 4 s je 1280 cm.s-2.

Hodnota celkového zrýchlenia v čase 4 s je 1280,6 cm.s-2.

 
       
   

Zodvihnutie rovinnej hate

Kalorimetrická rovnica

Absolútne čierne teleso

 
47. - Priemerná rýchlosť automobilu  

Obsah

59. - Smer pohybu lode