27. Pohyb bodu je daný v polárnych súradniciach rovnicami r = n . t,  φ = b . t, kde n a b sú konštanty. Nájdite rovnicu dráhy pohybu a vyjadrite závislosť rýchlosti a zrýchlenia od času!

 
   

 

 
 
 

n, b

r = n . t

φ = b . t

v = ?, a = ?

      

   
       
   

Pohyb bodu je vyjadrený rovnicami:

 
     

r = nt  ,

(1)

 
     

φ = bt  .

(2)

 
   

Keď si z predchádzajúcej rovnice (2) vyjadríme čas t a dosadíme do rovnice (1), dostaneme rovnicu dráhy pohybu bodu:

 
         

r = n / b φ  .

(3)

 
   

Pohyb bodu v rovine možno okrem karteziánskych súradníc x, y opísať aj dvojicou krivočiarych - polárnych súradníc r, φ. Medzi karteziánskymi a polárnymi súradnicami existuje vzájomne jednoznačné priradenie vyjadrené rovnicami:

 
         

x = r cos φ  ,

(4)

 
     

y = r sin φ  ,

(5)

 
   

pričom

 
     

r = (x2 + y2)1/2  .

(6)

 
   

Dosadením pôvodných vzťahov r = nt, φ = bt do predchádzajúcich rovníc (4) a (5) dostávame súradnice polohy bodu v čase t:

 
     

x = nt cos bt  ,

(7)

 
     

y = nt sin bt  .

(8)

 
   

Zderivovaním vzťahov (7), (8) podľa času dostaneme rovnice rýchlosti vx a vy:

 
     

vx = dx / dt = n cos bt + nt (-sin bt) b  ,

(9)

 
     

vy = dy / dt = n sin bt + nt cos bt b  .

(10)

 
   

Druhou deriváciou polohy bodu podľa času dostaneme vzťahy pre zrýchlenia ax, ay v daných smeroch:

 
   

ax = d2x / dt2 = n (-sin bt) b + n (-sin bt) b - nt cos bt b2  ,

(11)

 
   

ax = -2n sin bt b - nt cos bt b2  ,

(12)

 
   

ay = d2y / dt2 = n cos bt b + n cos bt b + nt (-sin bt) b2  ,

(13)

 
   

ay = 2n cos bt b - nt sin bt b2  .

(14)

 
   

Pre hodnotu celkovej rýchlosti v hmotného bodu platí: 

 
     

v = {vx2 + vy2}1/2

(15)

 
   

v = {[n cos bt - nt sin bt b]2 + [n sin bt + nt cos bt b]2}1/2 =

= {(n cos bt)2 - 2n cos bt nt sin bt b + (nt sin bt b)2 +

 + (n sin bt)2 + 2n sin bt nt cos bt b + (nt cos bt b)2}1/2 =

= {(n cos bt)2 + (nt sin bt b)2 + (n sin bt)2 + (nt cos bt b)2}1/2=

= {n2[cos2 bt + sin2 bt ] + n2t2b2[sin2 bt + cos2 bt ]}1/2 =

= {n2 + n2t2b2}1/2 = {n2(1+ t2b2)}1/2 = n{1+ t2b2}1/2  .

 
     

v = n {1 + t2b2}1/2  .

(16)

 
   

Pre celkové zrýchlenie a platí:

 
     

a = {ax2 + ay2}1/2

(17)

 
   

a = {[-2n sin bt b - nt cos bt b2]2 + [2n cos bt b - nt sin bt b2]2}1/2=

= {4n2 sin2 bt b2 + 4n sin bt bnt cos bt b2 + n2t2 cos2 bt b4 +

 + 4n2 cos2 bt b2 - 4n cos bt bnt sin bt b2 + n2t2 sin2 bt b4}1/2 =

= {4n2b2[cos2 bt + sin2 bt] + n2t2b4[cos2 bt + sin2 bt]}1/2 =

= { 4n2b2 + n2t2b4}1/2 = {n2b2(4 + t2b2)}1/2 = nb{4 + t2b2}1/2

 
     

a = nb {4 + t2b2}1/2  .

(18)

 
   

 

 
   

Dráha je Archimedova špirála s rovnicou: r = ( n / b ) φ .

Rýchlosť bodu je v = n (1 + t2b2)1/2 a jeho zrýchlenie a = nb (4 + t2b2)1/2.

 
   

 

 
   

Druhá kozmická rýchlosť

Balistické kyvadlo

Dopplerov princíp

 
       
9. - Priemerná rýchlosť cyklistu  

Obsah

31. - Rovnomerný a zrýchlený pohyb